1. **Problemstellung:** Untersuchen Sie die Funktion $f(x) = - \frac{1}{2} x^2 - 4x$ auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkte. 2. **Formel und Regeln:** - Hoch- und Tiefpunkte sind lokale Maxima bzw. Minima, gefunden durch $f'(x) = 0$ und Prüfung von $f''(x)$. - Sattelpunkte sind Stellen, an denen $f'(x) = 0$ und $f''(x) = 0$ mit Vorzeichenwechsel der Krümmung. 3. **Ableitungen berechnen:** $$f'(x) = - \frac{1}{2} \cdot 2x - 4 = -x - 4$$ $$f''(x) = -1$$ 4. **Kritische Punkte finden:** Setze $f'(x) = 0$: $$-x - 4 = 0 \Rightarrow x = -4$$ 5. **Art des kritischen Punktes bestimmen:** Da $f''(x) = -1 < 0$ für alle $x$, ist die Funktion überall konkav. Somit ist bei $x = -4$ ein Hochpunkt. 6. **Funktionswert am Hochpunkt:** $$f(-4) = - \frac{1}{2} (-4)^2 - 4(-4) = - \frac{1}{2} \cdot 16 + 16 = -8 + 16 = 8$$ 7. **Sattelpunkte:** Da $f''(x)$ konstant und ungleich null ist, gibt es keine Sattelpunkte. **Endergebnis:** - Hochpunkt bei $x = -4$ mit $f(-4) = 8$ - Kein Tiefpunkt - Kein Sattelpunkt