1. Étudier les variations de la fonction $f$ définie par : $$f(x) = \frac{x^4 + 2x^2 - 3}{x^2}.$$ On peut simplifier $f(x)$ pour $x \neq 0$ : $$f(x) = \frac{x^4}{x^2} + \frac{2x^2}{x^2} - \frac{3}{x^2} = x^2 + 2 - \frac{3}{x^2}.$$ 2. Calculons la dérivée $f'(x)$ pour étudier les variations : $$f'(x) = 2x - 3 \times \left(-2x^{-3}\right) = 2x + \frac{6}{x^3} = 2x + \frac{6}{x^3}.$$ 3. Étudions le signe de $f'(x)$ : $$f'(x) = 2x + \frac{6}{x^3} = \frac{2x^4 + 6}{x^3}.$$ Le dénominateur $x^3$ change de signe en 0, et le numérateur $2x^4 + 6 > 0$ pour tout $x$. - Pour $x > 0$, $x^3 > 0$, donc $f'(x) > 0$. - Pour $x < 0$, $x^3 < 0$, donc $f'(x) < 0$. Donc $f$ est décroissante sur $(-\infty, 0)$ et croissante sur $(0, +\infty)$. 4. Montrer que la courbe de $f$ et la parabole $P$ d'équation $y = x^2 + 2$ sont asymptotiques. On a : $$f(x) = x^2 + 2 - \frac{3}{x^2}.$$ Quand $x \to \pm \infty$, $\frac{3}{x^2} \to 0$, donc $$f(x) \sim x^2 + 2,$$ ce qui montre que la parabole $y = x^2 + 2$ est une asymptote parabolique. 5. Déterminer l'autre asymptote. Étudions le comportement de $f$ près de 0 : $$f(x) = \frac{x^4 + 2x^2 - 3}{x^2} = x^2 + 2 - \frac{3}{x^2}.$$ Quand $x \to 0$, $-\frac{3}{x^2} \to -\infty$, donc $f(x) \to -\infty$ ou $+\infty$ selon le signe de $x^2$. On peut chercher une asymptote verticale en $x=0$ car la fonction n'est pas définie en 0. 6. Montrer que la courbe de $f$ admet deux points d'inflexion. Calculons la dérivée seconde : $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left(2x + \frac{6}{x^3}\right) = 2 - 18x^{-4} = 2 - \frac{18}{x^4}.$$ Les points d'inflexion sont les solutions de $f''(x) = 0$ : $$2 - \frac{18}{x^4} = 0 \Rightarrow \frac{18}{x^4} = 2 \Rightarrow x^4 = 9 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}.$$ 7. Calculons les coordonnées des points d'inflexion : Pour $x = \sqrt{3}$ : $$f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^2 + 2 - \frac{3}{(\sqrt{3})^2} = 3 + 2 - \frac{3}{3} = 5 - 1 = 4.$$ Pour $x = -\sqrt{3}$ : $$f(-\sqrt{3}) = 3 + 2 - 1 = 4.$$ Les points d'inflexion sont donc $(\sqrt{3}, 4)$ et $(-\sqrt{3}, 4)$. --- Exercice 9 1.a) Déterminer la limite de $U$ en $+\infty$ et en $-\infty$ pour $$U(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x.$$ Quand $x \to +\infty$ : $$U(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x = x \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} - x = x \left(1 + \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right) - x = x + \frac{1}{2x} - x + o\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \to 0.$$ Quand $x \to -\infty$ : $$U(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x = -x \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} - x = -x - \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) - x = -2x - \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \to +\infty.$$ 1.b) Étudier les branches infinies de $(C)$. On a une branche horizontale asymptote $y=0$ en $+\infty$. 1.c) Montrer que pour tout réel $x$, $U(x) > 0$. On a $$U(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x > 0$$ car $\sqrt{x^2 + 1} > |x| \geq x$ pour tout $x$. En déduire le signe de $U(x) + 2x$. Pour $x \geq 0$, $U(x) > 0$ et $2x \geq 0$, donc $U(x) + 2x > 0$. Pour $x < 0$, $U(x) > 0$ mais $2x < 0$, le signe dépend de la valeur exacte. 2.a) Montrer que la dérivée de $U$ est $$U'(x) = -\frac{U(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}.$$ Calculons : $$U'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \times 2x - 1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} - 1 = \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = -\frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{\sqrt{x^2 + 1}} = -\frac{U(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}.$$ 2.b) Étudier les variations de $U$. Comme $U(x) > 0$ et $\sqrt{x^2 + 1} > 0$, on a $$U'(x) = -\frac{U(x)}{\sqrt{x^2 + 1}} < 0,$$ donc $U$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. 2.c) Tracer la courbe $(C)$ et ses asymptotes. Asymptote horizontale $y=0$ en $+\infty$. 3.a) Justifier que $U$ est bijective de $\mathbb{R}$ vers un intervalle $J$. Comme $U$ est continue, strictement décroissante, et $$\lim_{x \to -\infty} U(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} U(x) = 0,$$ $U$ est bijective de $\mathbb{R}$ sur $J = (0, +\infty)$. Le sens de variation de $U^{-1}$ est croissant car $U$ est décroissante. 3.b) Tracer la courbe $(\tau)$ de $U^{-1}$ dans le même repère que $(C)$. 3.c) Montrer que pour tout $x$ de $J$, $$U^{-1}(x) = -\frac{1}{2} x + \frac{1}{x}.$$ On pose $y = U(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x$, donc $$y + x = \sqrt{x^2 + 1} \Rightarrow (y + x)^2 = x^2 + 1 \Rightarrow y^2 + 2xy + x^2 = x^2 + 1 \Rightarrow y^2 + 2xy = 1.$$ Isolons $x$ : $$2xy = 1 - y^2 \Rightarrow x = \frac{1 - y^2}{2y} = \frac{1}{2y} - \frac{y}{2} = -\frac{1}{2} y + \frac{1}{y}.$$ Donc $$U^{-1}(x) = -\frac{1}{2} x + \frac{1}{x}.$$