1. **Problem statement:** Berechne den Flächeninhalt, der von der Funktion $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ und der Tangente im Maximum eingeschlossen wird. Die Integrationsgrenzen sind die Schnittpunkte der Tangente mit dem Graphen. 2. **Maximum bestimmen:** Die Ableitung ist $f'(x) = 3x^2 - 6x$. Setze $f'(x) = 0$ für kritische Punkte: $$3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x-2) = 0 \Rightarrow x=0 \text{ oder } x=2$$ 3. **Art der kritischen Punkte:** Zweite Ableitung: $f''(x) = 6x - 6$. Für $x=0$: $f''(0) = -6 < 0$ Maximum. Für $x=2$: $f''(2) = 6 > 0$ Minimum. 4. **Funktionswert im Maximum:** $$f(0) = 0^3 - 3\cdot0^2 + 4 = 4$$ 5. **Tangente im Maximum:** Steigung $m = f'(0) = 0$. Tangente: $y = f(0) + m(x-0) = 4$ (eine horizontale Gerade). 6. **Schnittpunkte der Tangente mit $f(x)$:** Setze $f(x) = 4$: $$x^3 - 3x^2 + 4 = 4 \Rightarrow x^3 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x-3) = 0$$ Lösungen: $x=0$ (Maximum), $x=3$. 7. **Flächeninhalt berechnen:** Der Flächeninhalt zwischen $x=0$ und $x=3$ ist $$A = \int_0^3 |f(x) - 4| \, dx$$ Da $f(x) \leq 4$ im Intervall (außer bei $x=0$), ist $$A = \int_0^3 (4 - f(x)) \, dx = \int_0^3 (4 - (x^3 - 3x^2 + 4)) \, dx = \int_0^3 (-x^3 + 3x^2) \, dx$$ 8. **Integral berechnen:** $$\int_0^3 (-x^3 + 3x^2) \, dx = \left[-\frac{x^4}{4} + x^3 \right]_0^3 = \left(-\frac{81}{4} + 27\right) - 0 = -20.25 + 27 = 6.75$$ 9. **Endergebnis:** Der Flächeninhalt beträgt $6.75$ Einheiten².