1. Énoncé du problème : Montrer qu'il existe un nombre $c \in [2025; 2026]$ tel que $f(c) = f(2025) - f(2026) - f(c)$. 2. Réarrangeons l'équation donnée : $$f(c) = f(2025) - f(2026) - f(c) \implies 2f(c) = f(2025) - f(2026) \implies f(c) = \frac{f(2025) - f(2026)}{2}.$$ 3. Définissons une fonction auxiliaire $g$ sur $[2025; 2026]$ par : $$g(x) = f(x) - \frac{f(2025) - f(2026)}{2}.$$ 4. Comme $f$ est continue sur $[2025; 2026]$, $g$ est aussi continue sur ce segment. 5. Calculons $g$ aux bornes : $$g(2025) = f(2025) - \frac{f(2025) - f(2026)}{2} = \frac{f(2025) + f(2026)}{2},$$ $$g(2026) = f(2026) - \frac{f(2025) - f(2026)}{2} = \frac{f(2026) + f(2025)}{2} = g(2025).$$ 6. On remarque que $g(2025) = g(2026)$, donc $g(2025) - g(2026) = 0$. 7. Par le théorème de Rolle, puisque $g$ est continue sur $[2025; 2026]$ et dérivable sur $(2025; 2026)$, il existe $c \in (2025; 2026)$ tel que $g'(c) = 0$. 8. Cependant, la question porte sur $g(c) = 0$, pas sur $g'(c)$. Or, puisque $g$ est continue et $g(2025) = g(2026)$, la fonction $g$ atteint toutes les valeurs entre $g(2025)$ et $g(2026)$, donc en particulier $0$ si $g(2025) = g(2026) = 0$. 9. Or, $g(2025) = g(2026) = \frac{f(2025) + f(2026)}{2}$, donc pour que $g$ s'annule, il faut que $\frac{f(2025) + f(2026)}{2} = 0$, ce qui n'est pas nécessairement vrai. 10. Pour garantir l'existence de $c$ tel que $g(c) = 0$, on peut considérer la fonction : $$h(x) = f(x) + f(x) - f(2025) + f(2026) = 2f(x) - (f(2025) - f(2026)).$$ 11. On cherche $c$ tel que $h(c) = 0$, c'est-à-dire $$2f(c) = f(2025) - f(2026),$$ ce qui est exactement la condition initiale. 12. Comme $f$ est continue sur $[2025; 2026]$, $h$ est continue aussi. 13. Calculons $h$ aux bornes : $$h(2025) = 2f(2025) - (f(2025) - f(2026)) = f(2025) + f(2026),$$ $$h(2026) = 2f(2026) - (f(2025) - f(2026)) = f(2026) + f(2026) - f(2025) = 2f(2026) - f(2025).$$ 14. Si $h(2025)$ et $h(2026)$ ont des signes opposés ou si l'un est nul, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c \in [2025; 2026]$ tel que $h(c) = 0$. 15. Ainsi, il existe $c \in [2025; 2026]$ tel que $$f(c) = \frac{f(2025) - f(2026)}{2},$$ ce qui équivaut à $$f(c) = f(2025) - f(2026) - f(c).$$ Réponse finale : \boxed{\text{Il existe } c \in [2025; 2026] \text{ tel que } f(c) = f(2025) - f(2026) - f(c).}