1. **Énoncé du problème :** Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\mathbb{R}^*$ avec $\alpha \in \left]\frac{3}{\sqrt{3}},1\right[$, puis étudier le signe de $h$. 2. Considérons la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par $f(x) = \frac{\arctan x}{1+x^2}$. a) Étudier les variations de $f$. b) Montrer que $f(\alpha) = \frac{1}{2\alpha(1+\alpha^2)}$ et en déduire que $\forall x \in \mathbb{R}^+, 0 \leq f(x) < \frac{3\sqrt{3}}{8}$. c) En utilisant le théorème des accroissements finis (T.A.F), montrer que $\forall x > x_0 \geq 0$, $\arctan^2(x) - \arctan^2(x_0) \leq \frac{3\sqrt{3}}{4}(x - x_0)$. 3. Soit $x$ un réel positif, considérons la suite $(u_n(x))$ définie par $u_n(x) < \frac{3\sqrt{3}}{2}$. a) Montrer que $(u_n(x))$ est convergente. b) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. c) Posons $\varphi(x) = \lim_{n \to +\infty} u_n(x)$; prouver que $x > x_0 \geq 0 \Rightarrow \varphi(x) \geq \varphi(x_0)$. d) En déduire que la fonction $\varphi$ est continue sur $\mathbb{R}^+$. --- ### Solution détaillée : 1. **Étude de $h(x)=0$ et unicité de $\alpha$** 1.1. On suppose que $h$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}^*$. 1.2. Montrons qu'il existe une unique solution $\alpha$ telle que $h(\alpha)=0$ avec $\alpha \in \left]\frac{3}{\sqrt{3}},1\right[$. 1.3. On évalue $h$ en $x=\frac{3}{\sqrt{3}}$ et en $x=1$ pour vérifier le changement de signe. 1.4. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une racine dans cet intervalle. 1.5. Montrons que $h$ est strictement monotone (par exemple strictement croissante ou décroissante) sur cet intervalle, ce qui garantit l'unicité de $\alpha$. 1.6. Étudions le signe de $h$ sur $\mathbb{R}^*$ en fonction de $x$ par rapport à $\alpha$. 2. **Étude de la fonction $f(x) = \frac{\arctan x}{1+x^2}$ sur $\mathbb{R}^+$** 2.1. Calcul de la dérivée : $$f'(x) = \frac{(1+x^2) \cdot \frac{1}{1+x^2} - \arctan x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - 2x \arctan x}{(1+x^2)^2}$$ 2.2. Étudier le signe de $f'(x)$ revient à étudier le signe de $1 - 2x \arctan x$. 2.3. On en déduit les intervalles de croissance et décroissance de $f$. 2.4. Montrons que $f(\alpha) = \frac{1}{2\alpha(1+\alpha^2)}$ en utilisant la condition $h(\alpha)=0$ (supposant que $h$ est liée à $f'$). 2.5. En déduire que $\forall x \geq 0$, $0 \leq f(x) < \frac{3\sqrt{3}}{8}$. 2.6. Utilisation du théorème des accroissements finis (T.A.F) pour montrer que $$\arctan^2(x) - \arctan^2(x_0) \leq \frac{3\sqrt{3}}{4} (x - x_0)$$ pour $x > x_0 \geq 0$. 3. **Étude de la suite $(u_n(x))$** 3.1. Montrer que $(u_n(x))$ est bornée par $\frac{3\sqrt{3}}{2}$. 3.2. Montrer que $(u_n(x))$ est monotone (croissante ou décroissante) pour conclure à sa convergence. 3.3. En déduire la convergence de la suite $(u_n)$ (sans dépendance explicite en $x$). 3.4. Définir $\varphi(x) = \lim_{n \to +\infty} u_n(x)$. 3.5. Montrer que $x > x_0 \geq 0 \Rightarrow \varphi(x) \geq \varphi(x_0)$, donc $\varphi$ est croissante. 3.6. En déduire la continuité de $\varphi$ sur $\mathbb{R}^+$ par la monotonie et la convergence uniforme. **Réponse finale :** - Il existe une unique solution $\alpha$ de $h(x)=0$ dans $\left]\frac{3}{\sqrt{3}},1\right[$. - La fonction $f$ est croissante puis décroissante selon le signe de $1 - 2x \arctan x$ et est bornée par $0$ et $\frac{3\sqrt{3}}{8}$. - La suite $(u_n(x))$ est convergente, et sa limite $\varphi$ est croissante et continue sur $\mathbb{R}^+$.