1. **Énoncé du problème :** Étudier l'ensemble de définition, la continuité et la dérivabilité de la fonction $h$ définie par $$h(x) = \begin{cases} \frac{1-\sqrt{x-1}}{x-2} & \text{si } x \neq 2 \\ -\frac{1}{2} & \text{si } x=2 \end{cases}$$ 2. **Ensemble de définition :** - La racine carrée $\sqrt{x-1}$ est définie si et seulement si $x-1 \geq 0$, donc $x \geq 1$. - Le dénominateur $x-2$ ne doit pas être nul pour $x \neq 2$, donc $x \neq 2$. - Cependant, $h(2)$ est défini explicitement. - Ainsi, l'ensemble de définition est $[1, +\infty)$. 3. **Continuité en $x=2$ :** - Pour que $h$ soit continue en $2$, il faut que $\lim_{x \to 2} h(x) = h(2)$. - Calcul de la limite : $$\lim_{x \to 2} \frac{1-\sqrt{x-1}}{x-2}$$ - Multiplions numérateur et dénominateur par le conjugué du numérateur : $$\lim_{x \to 2} \frac{(1-\sqrt{x-1})(1+\sqrt{x-1})}{(x-2)(1+\sqrt{x-1})} = \lim_{x \to 2} \frac{1-(x-1)}{(x-2)(1+\sqrt{x-1})} = \lim_{x \to 2} \frac{2-x}{(x-2)(1+\sqrt{x-1})}$$ - Simplifions : $$= \lim_{x \to 2} \frac{-(x-2)}{(x-2)(1+\sqrt{x-1})} = \lim_{x \to 2} \frac{-1}{1+\sqrt{x-1}}$$ - En substituant $x=2$ : $$\frac{-1}{1+\sqrt{1}} = \frac{-1}{2}$$ - Comme $h(2) = -\frac{1}{2}$, $h$ est continue en $2$. 4. **Dérivabilité en $x=2$ :** - Étudions la limite du taux d'accroissement : $$\lim_{x \to 2} \frac{h(x)-h(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{1-\sqrt{x-1}}{x-2} + \frac{1}{2}}{x-2}$$ - Mettons au même dénominateur : $$= \lim_{x \to 2} \frac{2(1-\sqrt{x-1}) + (x-2)}{2(x-2)^2} = \lim_{x \to 2} \frac{x - 2\sqrt{x-1}}{2(x-2)^2}$$ - Multiplions par le conjugué de $x - 2\sqrt{x-1}$ : $$= \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2\sqrt{x-1})(x + 2\sqrt{x-1})}{2(x-2)^2 (x + 2\sqrt{x-1})} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4(x-1)}{2(x-2)^2 (x + 2\sqrt{x-1})}$$ - Simplifions le numérateur : $$= \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4x + 4}{2(x-2)^2 (x + 2\sqrt{x-1})} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)^2}{2(x-2)^2 (x + 2\sqrt{x-1})}$$ - Simplification : $$= \lim_{x \to 2} \frac{1}{2(x + 2\sqrt{x-1})}$$ - En substituant $x=2$ : $$= \frac{1}{2(2 + 2)} = \frac{1}{8}$$ - Donc, $h'(2) = \frac{1}{8}$. 5. **Interprétation géométrique :** - La fonction $h$ est dérivable en $2$. - La tangente à la courbe au point d'abscisse $2$ a pour pente $\frac{1}{8}$. **Réponses finales :** - L'ensemble de définition de $h$ est $[1, +\infty)$. - La fonction $h$ est continue en $x=2$. - La fonction $h$ est dérivable en $x=2$ avec $h'(2) = \frac{1}{8}$. - La tangente à la courbe en $x=2$ a pour pente $\frac{1}{8}$.