1. المشكلة: فهم وتحليل (CEh) في سياق الدوال والتقسيمات على مجالات مختلفة من الأعداد الحقيقية. 2. المعطيات: لدينا دوال مثل $h_0(m)$، $h_1(m)$، $r_0(m)$، $r_1(m)$، و$R(m)$ معرفة على مجالات مختلفة مثل $J = ]-3, -2[$ و$J = ]-q, -3[ \cup ]-2, +\infty[$. 3. الهدف: إثبات أن الحالة $k_0$ دالة وتوشية، وفهم سلوك الدالة $q$ المتزايدة تمامًا على مجالات معينة، بالإضافة إلى دراسة تغير الدالة $f$ على مجالات محددة. 4. القواعد الأساسية: - الدالة $q$ متزايدة تمامًا على المجال $]-\infty, 0[$. - الدالة $h_0(m)$ تأخذ قيمًا في $[0,1[$ عندما $m \in [-3,0[$. - الدالة $h(m)$ تأخذ قيمًا في $[1, +\infty[$ على المجال $]-1, +\infty[$. - المجال $J = ]-3, -1[$ متصل جدًا. 5. إثبات أن الحالة $k_0$ دالة وتوشية: - الحالة $k_0$ معرفة على $D_k = \{m \in \mathbb{R} | -44 + \lambda \neq 0\}$. - بما أن $k_2 = -1 - 3 + \phi \in \mathbb{R}$ مثبتة بالنسبة لـ $k_1$، فإن $k_0$ تمثل دالة توشية (injective) على هذا المجال. 6. سلوك الدالة $q$: - $q$ متزايدة تمامًا على $]-\infty, 0[$. - هذا يعني أنه لكل $m_1 < m_2$ في هذا المجال، $q(m_1) < q(m_2)$. 7. تغير الدالة $f$: - على المجال $J = ]-3, -1[$، الدالة $f$ حالة تقعة (مستمرة ومتصلة). - على المجال $[-3, -1[ \cup ]-3, -1[$، الدالة $f$ متصلة. - بالنسبة لـ $m \in [-3, 0[$، $h_0(m) \in [0,1[$. 8. استنتاجات: - الدالة $h(m)$ تأخذ قيمًا في $[1, +\infty[$ على المجال $]-1, +\infty[$. - الدالة $q$ متزايدة تمامًا على $]-1, +\infty[$، ومنه الدالة $f$ حالة تقعة على $[1, +\infty[$. النتيجة النهائية: تم إثبات أن الحالة $k_0$ دالة وتوشية على المجال المحدد، وأن الدالة $q$ متزايدة تمامًا على المجالات المعطاة، مما يؤثر على سلوك الدالة $f$ و$h$ على هذه المجالات.