1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Änderungsrate der Staulänge $\lambda(t) = -0,04\cdot t^3 + 1,53\cdot t^2 - 18,86\cdot t + 74,97$ für $t$ von 7 bis 19,24 (Uhrzeit in Stunden). Es soll der Verlauf der Staulänge, Zunahmen, Maxima, Integrale und weitere Eigenschaften untersucht werden. 2. **Verlauf der Staulänge (a):** Die Änderungsrate $\lambda(t)$ gibt an, wie schnell sich die Staulänge ändert. Ist $\lambda(t)>0$, wächst der Stau, bei $\lambda(t)<0$ schrumpft er. Da bis 7 Uhr kein Stau ist, startet die Staulänge bei 0. Der Verlauf zeigt zunächst eine positive Änderungsrate, also wächst der Stau am Morgen. Später fällt $\lambda(t)$ unter 0, der Stau verkürzt sich, was plausibel ist, da sich der Verkehr nach dem morgendlichen Stau wieder auflöst. Am Nachmittag gibt es eine kleinere positive Änderungsrate, was auf einen kleineren Stau hinweist, bevor der Stau am Abend endgültig verschwindet. 3. **Zunahme der Staulänge um 7 Uhr (b):** Berechne $\lambda(7)$: $$\lambda(7) = -0,04\cdot 7^3 + 1,53\cdot 7^2 - 18,86\cdot 7 + 74,97$$ $$= -0,04\cdot 343 + 1,53\cdot 49 - 18,86\cdot 7 + 74,97$$ $$= -13,72 + 74,97 - 132,02 + 74,97 = 4,2\text{ km/h (gerundet)}$$ Nach 6 Minuten (\(\frac{6}{60} = 0,1\) Stunden) ist die Zunahme: $$4,2 \cdot 0,1 = 0,42\text{ km} = 420\text{ m}$$ Anzahl Autos im Stau: $$\frac{420\text{ m}}{7\text{ m/Auto}} = 60\text{ Autos}$$ 4. **Maximale Zunahme am Nachmittag (c):** Die maximale Zunahme entspricht dem Maximum von $\lambda(t)$ am Nachmittag. Dazu berechnen wir die Ableitung $\lambda'(t)$: $$\lambda'(t) = -0,12 t^2 + 3,06 t - 18,86$$ Setze $\lambda'(t) = 0$: $$-0,12 t^2 + 3,06 t - 18,86 = 0$$ Multipliziere mit $-1$: $$0,12 t^2 - 3,06 t + 18,86 = 0$$ Diskriminante: $$D = (-3,06)^2 - 4 \cdot 0,12 \cdot 18,86 = 9,3636 - 9,0528 = 0,3108$$ Lösungen: $$t = \frac{3,06 \pm \sqrt{0,3108}}{2 \cdot 0,12} = \frac{3,06 \pm 0,5575}{0,24}$$ $$t_1 = \frac{3,06 - 0,5575}{0,24} = 10,02, \quad t_2 = \frac{3,06 + 0,5575}{0,24} = 15,49$$ Da Nachmittag, nehmen wir $t=15,49$ (ca. 15:29 Uhr). Berechne $\lambda(15,49)$: $$\lambda(15,49) = -0,04 \cdot 15,49^3 + 1,53 \cdot 15,49^2 - 18,86 \cdot 15,49 + 74,97 \approx 2,3\text{ km/h}$$ 5. **Integralabschätzung und exakte Berechnung (d):** Untere Summe von $\int_{13}^{17} \lambda(t) dt$ bedeutet, wir nehmen das Minimum von $\lambda(t)$ in jedem Intervall als Rechteckhöhe. Da $\lambda(t)$ im Intervall positiv ist, ist das Integral die Zunahme der Staulänge zwischen 13 und 17 Uhr. Exakte Berechnung: $$\int \lambda(t) dt = \int (-0,04 t^3 + 1,53 t^2 - 18,86 t + 74,97) dt$$ $$= -0,01 t^4 + 0,51 t^3 - 9,43 t^2 + 74,97 t + C$$ Berechne: $$F(17) - F(13) = [-0,01 \cdot 17^4 + 0,51 \cdot 17^3 - 9,43 \cdot 17^2 + 74,97 \cdot 17] - [-0,01 \cdot 13^4 + 0,51 \cdot 13^3 - 9,43 \cdot 13^2 + 74,97 \cdot 13]$$ Werte: $$17^4=83521, 17^3=4913, 17^2=289$$ $$13^4=28561, 13^3=2197, 13^2=169$$ Einsetzen: $$F(17) = -0,01 \cdot 83521 + 0,51 \cdot 4913 - 9,43 \cdot 289 + 74,97 \cdot 17$$ $$= -835,21 + 2505,63 - 2724,27 + 1274,49 = 220,64$$ $$F(13) = -0,01 \cdot 28561 + 0,51 \cdot 2197 - 9,43 \cdot 169 + 74,97 \cdot 13$$ $$= -285,61 + 1120,47 - 1593,67 + 974,61 = 215,8$$ Differenz: $$220,64 - 215,8 = 4,84\text{ km}$$ Interpretation: Die Staulänge wächst zwischen 13 und 17 Uhr um ca. 4,84 km. 6. **Stauende um 19:14 Uhr (e):** Der Stau endet, wenn die Änderungsrate $\lambda(t)$ null wird und danach negativ bleibt. Berechne $\lambda(19,24)$: $$\lambda(19,24) = -0,04 \cdot 19,24^3 + 1,53 \cdot 19,24^2 - 18,86 \cdot 19,24 + 74,97 \approx 0$$ Da $\lambda(t)$ danach negativ wird, ist der Stau um 19:14 Uhr beendet. 7. **Auswirkungen der Erhöhung des letzten Summanden (f):** Erhöhung von 74,97 auf 75,97 verschiebt $\lambda(t)$ um +1 km/h nach oben. Der Graph verschiebt sich nach oben, die Änderungsrate ist überall um 1 größer, was bedeutet, dass die Staulänge schneller wächst oder langsamer schrumpft. Das Integral über $\lambda(t)$ wird um $1 \cdot (19,24 - 7) = 12,24$ km größer, da die Fläche unter der Kurve um diesen Wert zunimmt.