متتاليات ونهايات
1. **بيان المسألة:** لدينا متتالية (u_n) معرفة بالعلاقة التكرارية $$u_{n+1} = \frac{3}{2} u_n - 1$$ مع $$u_0 = -1$$، والمتتالية (v_n) معرفة بـ $$v_n = u_n - 2$$.
2. **حساب القيم المطلوبة:**
- $$u_1 = \frac{3}{2} u_0 - 1 = \frac{3}{2} \times (-1) - 1 = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}$$
- $$u_2 = \frac{3}{2} u_1 - 1 = \frac{3}{2} \times (-\frac{5}{2}) - 1 = -\frac{15}{4} - 1 = -\frac{19}{4}$$
- $$v_0 = u_0 - 2 = -1 - 2 = -3$$
- $$v_1 = u_1 - 2 = -\frac{5}{2} - 2 = -\frac{9}{2}$$
3. **حساب $$v_{n+1}$$ واستنتاج هندسية المتتالية:**
نستخدم تعريف $$v_n = u_n - 2$$، إذن:
$$v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = \left(\frac{3}{2} u_n - 1\right) - 2 = \frac{3}{2} u_n - 3$$
نعوض $$u_n = v_n + 2$$:
$$v_{n+1} = \frac{3}{2} (v_n + 2) - 3 = \frac{3}{2} v_n + 3 - 3 = \frac{3}{2} v_n$$
إذًا المتتالية (v_n) هندسية أساسها $$\frac{3}{2}$$ وحدها الأول $$v_0 = -3$$.
4. **كتابة $$v_n$$ بدلالة $$n$$:**
لأن (v_n) هندسية:
$$v_n = v_0 \left(\frac{3}{2}\right)^n = -3 \left(\frac{3}{2}\right)^n$$
5. **استنتاج $$u_n$$ بدلالة $$n$$:**
نعلم أن $$u_n = v_n + 2$$، إذن:
$$u_n = -3 \left(\frac{3}{2}\right)^n + 2$$
6. **حساب النهايات:**
- $$\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} -3 \left(\frac{3}{2}\right)^n$$
بما أن $$\frac{3}{2} > 1$$، فإن $$\left(\frac{3}{2}\right)^n \to +\infty$$، إذن $$v_n \to -\infty$$.
- $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \left(-3 \left(\frac{3}{2}\right)^n + 2\right) = -\infty$$.
---
**تمرين 2: حساب النهايات**
1) $$\lim_{n \to +\infty} n^2 - 5n^3 + 4 = -\infty$$ لأن الحد $$-5n^3$$ يهيمن ويذهب إلى $$-\infty$$.
2) $$\lim_{n \to +\infty} \frac{7n^2 + 3n + 1}{n^2 + 3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{7 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{3}{n^2}} = 7$$.
3) $$\lim_{n \to +\infty} \frac{6n^3 + 8n + 7}{n^3 + 3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{6 + \frac{8}{n^2} + \frac{7}{n^3}}{1 + \frac{3}{n^3}} = 6$$.
4) $$\lim_{n \to +\infty} \frac{7n^3 + 2n - 1}{n^3 + 9} = 7$$ بنفس الطريقة.
5) $$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{5}{n} - 1\right) \left(\frac{1}{n} + 2\right) = (-1) \times 2 = -2$$ لأن $$\frac{5}{n} \to 0$$ و $$\frac{1}{n} \to 0$$.
6) $$\lim_{n \to +\infty} 2^n - 3^n = -\infty$$ لأن $$3^n$$ ينمو أسرع من $$2^n$$.
7) $$\lim_{n \to +\infty} \frac{4}{\left(\frac{9}{n}\right)^2 + 2} = \frac{4}{0 + 2} = 2$$.