1. **Énoncé du problème :** Étudier les variations de la fonction $h$ et de sa dérivée $h'$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour étudier les variations d'une fonction $h$, on étudie le signe de sa dérivée $h'$. Si $h'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $h$ est croissante sur cet intervalle. Si $h'(x) < 0$, alors $h$ est décroissante. 3. **Étude de $h'$ :** On calcule $h''$ (la dérivée seconde de $h$) pour étudier la variation de $h'$. Si $h''(x) > 0$, alors $h'$ est croissante, sinon décroissante. 4. **Application à l'inégalité :** En déduire que pour tout $x \in ]0, \frac{\pi}{2}[$, on a $$x - \frac{x^3}{6} < \sin x < x$$ Cette inégalité est une conséquence des variations de $h$ et $h'$ et des développements limités de $\sin x$. 5. **Explication pédagogique :** La fonction $\sin x$ est toujours inférieure à sa tangente en 0, qui est la droite $y = x$, mais supérieure à l'approximation polynomiale $x - \frac{x^3}{6}$ qui est une meilleure approximation au voisinage de 0. **Réponse finale :** Pour tout $x \in ]0, \frac{\pi}{2}[$, $$x - \frac{x^3}{6} < \sin x < x$$