1. **Énoncé du problème** : Étudier les variations des fonctions $f_0(x) = e^{-x/2}$, $f_1(x) = x e^{-x/2}$, $f_2(x) = x^2 e^{-x/2}$ définies sur $\mathbb{R}$. 2. **Étude des variations de $f_0$** : Calculons la dérivée : $$f_0'(x) = -\frac{1}{2} e^{-x/2}$$ Comme $e^{-x/2} > 0$ pour tout $x$, $f_0'(x) < 0$ pour tout $x$. Donc $f_0$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. 3. **Étude des variations de $f_1$** : $$f_1(x) = x e^{-x/2}$$ Dérivée par produit : $$f_1'(x) = e^{-x/2} + x \left(-\frac{1}{2} e^{-x/2}\right) = e^{-x/2} \left(1 - \frac{x}{2}\right)$$ Le signe de $f_1'(x)$ dépend de $1 - \frac{x}{2}$. Donc $f_1'(x) > 0$ si $x < 2$, $f_1'(x) = 0$ si $x=2$, et $f_1'(x) < 0$ si $x > 2$. Ainsi, $f_1$ est croissante sur $(-\infty, 2]$ et décroissante sur $[2, +\infty)$. 4. **Étude des variations de $f_2$** : $$f_2(x) = x^2 e^{-x/2}$$ Dérivée : $$f_2'(x) = 2x e^{-x/2} + x^2 \left(-\frac{1}{2} e^{-x/2}\right) = e^{-x/2} \left(2x - \frac{x^2}{2}\right) = e^{-x/2} x \left(2 - \frac{x}{2}\right)$$ Le signe de $f_2'(x)$ dépend de $x(2 - \frac{x}{2})$. Les racines sont $x=0$ et $x=4$. Donc $f_2'(x) > 0$ sur $(0,4)$, $f_2'(x) < 0$ sur $(-\infty,0)$ et $(4,+\infty)$. Ainsi, $f_2$ est décroissante sur $(-\infty,0)$, croissante sur $(0,4)$, et décroissante sur $(4,+\infty)$. 5. **Points d'intersection des courbes** : - $C_0$ et $C_1$ : résoudre $f_0(x) = f_1(x)$ $$e^{-x/2} = x e^{-x/2} \implies 1 = x \implies x=1$$ Coordonnée : $(1, e^{-1/2})$. - $C_0$ et $C_2$ : résoudre $f_0(x) = f_2(x)$ $$e^{-x/2} = x^2 e^{-x/2} \implies 1 = x^2 \implies x = \pm 1$$ Coordonnées : $(1, e^{-1/2})$ et $(-1, e^{1/2})$. - $C_1$ et $C_2$ : résoudre $f_1(x) = f_2(x)$ $$x e^{-x/2} = x^2 e^{-x/2} \implies x = x^2 \implies x(x-1) = 0 \implies x=0 \text{ ou } x=1$$ Coordonnées : $(0,0)$ et $(1, e^{-1/2})$. 6. **Étude du signe des expressions** : - $f_1(x) - f_0(x) = e^{-x/2}(x - 1)$ Signe dépend de $x-1$ : négatif si $x<1$, nul si $x=1$, positif si $x>1$. - $f_2(x) - f_1(x) = e^{-x/2}(x^2 - x) = e^{-x/2} x(x-1)$ Signe selon $x$ et $x-1$ : - positif si $x>1$, - nul si $x=0$ ou $x=1$, - négatif si $0 1$. 7. **Tracé des courbes** : Les courbes $C_0$, $C_1$, $C_2$ sont respectivement les graphes de $f_0$, $f_1$, $f_2$ dans le repère orthonormal $(0, \vec{i}, \vec{j})$.