1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux fonctions définies par : $$f(x) = x^2 - 4x + 5$$ $$g(x) = 1 - \frac{1}{2}x^3$$ Nous devons dresser le tableau de variations de $f$ et $g$, calculer $f(3)$ et $g(3)$, puis résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) < g(x)$ sur $[1; +\infty[$. 2. **Tableau de variations de $f$ :** - La fonction $f$ est un polynôme du second degré de la forme $ax^2 + bx + c$ avec $a=1 > 0$, donc la parabole est tournée vers le haut. - Le sommet est en $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2$. - Calculons $f(2)$ : $$f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$$ - Donc $f$ décroît sur $]-\infty, 2]$ et croît sur $[2, +\infty[$. 3. **Tableau de variations de $g$ :** - La dérivée de $g$ est : $$g'(x) = -\frac{3}{2}x^2$$ - Comme $x^2 \geq 0$, $g'(x) \leq 0$ pour tout $x$, donc $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. 4. **Calcul de $f(3)$ et $g(3)$ :** - $$f(3) = 3^2 - 4 \times 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$$ - $$g(3) = 1 - \frac{1}{2} \times 3^3 = 1 - \frac{1}{2} \times 27 = 1 - 13.5 = -12.5$$ 5. **Représentation graphique :** - La courbe $(C_f)$ est une parabole avec un minimum en $(2,1)$. - La courbe $(C_g)$ est une fonction décroissante cubique. - En $x=3$, $f(3) = 2$ est bien au-dessus de $g(3) = -12.5$. 6. **Résolution graphique de l'inéquation $f(x) < g(x)$ sur $[1; +\infty[$ :** - On cherche les $x$ tels que la courbe $(C_f)$ est en dessous de $(C_g)$. - Posons $h(x) = f(x) - g(x) = x^2 - 4x + 5 - \left(1 - \frac{1}{2}x^3\right) = \frac{1}{2}x^3 + x^2 - 4x + 4$. - Résolvons $h(x) < 0$ sur $[1, +\infty[$. - Trouvons les racines de $h(x)$ : $$h(x) = \frac{1}{2}x^3 + x^2 - 4x + 4 = 0$$ - Multiplions par 2 pour simplifier : $$x^3 + 2x^2 - 8x + 8 = 0$$ - Testons $x=1$ : $$1 + 2 - 8 + 8 = 3 \neq 0$$ - Testons $x=2$ : $$8 + 8 - 16 + 8 = 8 \neq 0$$ - Testons $x=-2$ : $$-8 + 8 + 16 + 8 = 24 \neq 0$$ - Testons $x=-1$ : $$-1 + 2 + 8 + 8 = 17 \neq 0$$ - Utilisons la méthode numérique ou graphique : - Par le graphique, on observe que $h(x)$ change de signe entre $1$ et $2$. - Ainsi, l'intervalle où $f(x) < g(x)$ est environ $]1, x_0[$ avec $x_0$ racine de $h$ dans $[1,2]$. **Réponse finale :** - $f$ décroît sur $]-\infty, 2]$ et croît sur $[2, +\infty[$. - $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. - $f(3) = 2$, $g(3) = -12.5$. - L'inéquation $f(x) < g(x)$ est satisfaite pour $x$ dans un intervalle $]1, x_0[$ avec $x_0 \approx 1.5$ (valeur approchée).