1. **Énoncé du problème** : On a deux fonctions définies par $$f(x) = x^2 - 4x + 5$$ et $$g(x) = |x^2 - 4x + 5|$$ On doit dresser leur tableau de variations, calculer leurs valeurs en 3, puis résoudre graphiquement l'inéquation $$f(x) < g(x)$$ sur $$[1; +\infty[$. 2. **Tableau de variations de f** : - La fonction $$f(x) = x^2 - 4x + 5$$ est un polynôme du second degré. - Le coefficient de $$x^2$$ est positif, donc la parabole est convexe (ouverte vers le haut). - Le sommet est en $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2$$. - Calculons $$f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$$. - Donc, $$f$$ décroît sur $$]-\infty, 2]$$ de $$+\infty$$ à 1, puis croît sur $$[2, +\infty[$ de 1 à $$+\infty$$. 3. **Tableau de variations de g** : - $$g(x) = |f(x)|$$. - Puisque $$f(x)$$ atteint un minimum de 1 (positif), $$f(x) \geq 1$$ pour tout $$x$$. - Donc $$g(x) = f(x)$$ car la valeur absolue de $$f(x)$$ est simplement $$f(x)$$ (toujours positive). - Ainsi, $$g$$ a les mêmes variations que $$f$$. 4. **Calcul de $$f(3)$$ et $$g(3)$$** : - $$f(3) = 3^2 - 4 \times 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$$. - $$g(3) = |f(3)| = |2| = 2$$. 5. **Représentation graphique** : - Les courbes $$C_f$$ et $$C_g$$ sont identiques car $$g(x) = |f(x)| = f(x)$$ pour tout $$x$$. 6. **Résolution graphique de l'inéquation $$f(x) < g(x)$$ sur $$[1; +\infty[$** : - Comme $$g(x) = |f(x)|$$, on a $$f(x) < |f(x)|$$. - Cette inégalité est vraie uniquement lorsque $$f(x) < 0$$. - Or, $$f(x) = x^2 - 4x + 5$$ est toujours $$\geq 1$$, donc jamais négative. - Donc, sur $$[1; +\infty[$, $$f(x) < g(x)$$ n'a pas de solution. **Réponse finale** : - Les fonctions $$f$$ et $$g$$ ont le même tableau de variations. - $$f(3) = g(3) = 2$$. - L'inéquation $$f(x) < g(x)$$ n'a pas de solution sur $$[1; +\infty[$.