1. Énoncé du problème : Étudier la fonction $f(x) = x^3 - 3x + 1$. 2. Étudier les variations de $f$ : Calculons la dérivée de $f$ : $$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$$ 3. Trouvons les points critiques en résolvant $f'(x) = 0$ : $$3(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1 \text{ ou } x = 1$$ 4. Étudions le signe de $f'(x)$ sur les intervalles déterminés : - Pour $x < -1$, par exemple $x=-2$, $f'(-2) = 3(4-1) = 9 >0$ donc $f$ est croissante sur $]-\infty, -1[$. - Pour $-1 < x < 1$, par exemple $x=0$, $f'(0) = 3(-1) = -3 < 0$ donc $f$ est décroissante sur $]-1,1[$. - Pour $x > 1$, par exemple $x=2$, $f'(2) = 3(4-1)=9 >0$ donc $f$ est croissante sur $]1, +\infty[$. 5. Valeurs aux points critiques : $$f(-1) = (-1)^3 -3(-1) +1 = -1 +3 +1 = 3$$ $$f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$$ 6. Tableau de variations de $f$ : - Croissante sur $]-\infty, -1]$ de $-\infty$ à $3$. - Décroissante sur $[-1,1]$ de $3$ à $-1$. - Croissante sur $[1, +\infty[$ de $-1$ à $+\infty$. 7. Définissons $g$ comme la restriction de $f$ à $]-\infty, -1]$. 8. Montrons que $g$ est une bijection sur un intervalle $J$ : - Sur $]-\infty, -1]$, $f$ est strictement croissante (car $f'(x) > 0$). - Donc $g$ est injective. - Pour la surjectivité, calculons l'ensemble image $J = g(]-\infty,-1])$. - Quand $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$. - En $x=-1$, $f(-1)=3$. - Donc $J = ]-\infty, 3]$. 9. Par la stricte croissance et cette image, $g$ est bijective de $]-\infty, -1]$ vers $]-\infty, 3]$. 10. Étudiant la bijection réciproque $g^{-1}$ : - $g^{-1} : J = ]-\infty, 3] \to ]-\infty, -1]$ - Comme $g$ est strictement croissante, $g^{-1}$ est aussi strictement croissante. 11. Tableau de variation de $g^{-1}$ : - Définition : $y = g(x)$, alors $x = g^{-1}(y)$. - Comme $g$ est croissante de $]-\infty, -1]$ vers $]-\infty, 3]$, $g^{-1}$ est croissante de $]-\infty, 3]$ vers $]-\infty, -1]$. Réponse finale : - $f$ est croissante puis décroissante puis croissante. - $g$ est bijection strictement croissante de $]-\infty, -1]$ vers $]-\infty, 3]$. - $g^{-1}$ est strictement croissante sur $]-\infty, 3]$ avec image $]-\infty, -1]$.