1. **Énoncé du problème :** Nous avons une fonction continue $f$ définie sur l'intervalle $[-1,4]$ dont la courbe est donnée. Nous devons : - Déterminer le sens de variation de $f$. - Trouver les images des intervalles $[-1,4]$ et $[0,1]$ par $f$. - Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $x_0$ dans $[-1,4]$. - Déterminer le signe de $f(x)$ sur cet intervalle. 2. **Déterminer le sens de variation de $f$ :** D'après la description, la courbe commence près de $(-1,-1)$ et monte continuellement jusqu'à environ $(4,3)$. Cela indique que $f$ est strictement croissante sur $[-1,4]$. 3. **Déterminer $f([-1,4])$ et $f([0,1])$ :** - Puisque $f$ est continue et strictement croissante sur $[-1,4]$, l'image de cet intervalle est l'intervalle entre $f(-1)$ et $f(4)$. - D'après la description, $f(-1) \approx -1$ et $f(4) \approx 3$, donc $$f([-1,4]) = [-1,3].$$ - Pour $[0,1]$, on a $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$, donc $$f([0,1]) = [0,1].$$ 4. **Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une seule solution $x_0$ dans $[-1,4]$ :** - Comme $f$ est continue sur $[-1,4]$ et $f(-1) \approx -1 < 0$, $f(0) = 0$, il existe au moins une solution $x_0$ dans $[-1,4]$ telle que $f(x_0) = 0$. - De plus, $f$ est strictement croissante, donc l'équation $f(x) = 0$ ne peut avoir qu'une seule solution. 5. **Déterminer le signe de $f(x)$ :** - Pour $x < x_0$, puisque $f$ est croissante et $f(x_0) = 0$, on a $f(x) < 0$. - Pour $x > x_0$, on a $f(x) > 0$. **Réponse finale :** - $f$ est strictement croissante sur $[-1,4]$. - $f([-1,4]) = [-1,3]$ et $f([0,1]) = [0,1]$. - L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $x_0$ dans $[-1,4]$. - $f(x) < 0$ pour $x < x_0$, $f(x) = 0$ pour $x = x_0$, et $f(x) > 0$ pour $x > x_0$.