1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux fonctions définies par $$f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}$$ et $$g(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2 + 1}}$$ Nous devons étudier la parité, la monotonie (sans dérivée ni limite) et dresser les tableaux de variation de ces fonctions et de leurs compositions. 2. **Justification que $f$ est paire :** - Une fonction $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$. - Calculons $f(-x)$ : $$f(-x) = \frac{(-x)^2}{\sqrt{(-x)^2 + 1}} = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} = f(x)$$ - Donc, $f$ est paire. 3. **Monotonie de $f$ sur $]-\infty;0]$ sans dérivée :** - Prenons deux réels $x_1 < x_2 \leq 0$. - Calculons le taux de variation entre $x_1$ et $x_2$ : $$TV = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$ - Comme $x_1 < x_2 \leq 0$, $x_2 - x_1 > 0$. - Calculons $f(x)$ pour des valeurs négatives croissantes (exemple numérique) : - $f(-2) = \frac{4}{\sqrt{4+1}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \approx 1.79$ - $f(-1) = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.71$ - $f(-1) < f(-2)$ donc $f$ diminue quand $x$ augmente sur $]-\infty;0]$. - Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$. 4. **Tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ :** - $f$ est paire donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. - Sur $]-\infty;0]$, $f$ est décroissante. - Par symétrie, sur $[0; +\infty[$, $f$ est croissante. - Valeur minimale en $x=0$ : $$f(0) = \frac{0}{\sqrt{0+1}} = 0$$ - Limite en $+\infty$ (approximée par taux de variation) : - $f(1) = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.71$ - $f(2) = \frac{4}{\sqrt{5}} \approx 1.79$ - $f$ croît donc vers $+\infty$. Tableau de variation (flèches) : $$\begin{array}{c|ccc|c} x & -\infty & & 0 & +\infty \\ f(x) & \nearrow & \searrow & 0 & \nearrow \\ \end{array}$$ 5. **Tableau de variation de $f \circ f$ sur $\mathbb{R}$ :** - $f$ est positive et croissante sur $[0,+\infty[$. - Comme $f$ est paire, $f(x) \geq 0$ pour tout $x$. - $f \circ f$ est donc la composition de deux fonctions croissantes sur $[0,+\infty[$. - Par taux de variation, $f \circ f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. 6. **Monotonie de $g$ sur $]0; +\infty[$ via $f(u(x))=g(x)$ avec $u(x) = \frac{1}{x}$ :** - Montrons que $f(u(x)) = g(x)$ : $$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\left(\frac{1}{x}\right)^2}{\sqrt{\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 1}} = \frac{\frac{1}{x^2}}{\sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}} = \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{\sqrt{1 + x^2}}{|x|}} = \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{\sqrt{1 + x^2}}{x}} = \frac{1}{x \sqrt{1 + x^2}} = g(x)$$ - $u(x) = \frac{1}{x}$ est strictement décroissante sur $]0; +\infty[$. - $f$ est strictement croissante sur $[0; +\infty[$. - La composition $g(x) = f(u(x))$ est donc strictement décroissante sur $]0; +\infty[$. 7. **Tableau de variation de $g$ sur $\mathbb{R}^*$ :** - $g$ est impaire (car $g(-x) = -g(x)$) par vérification rapide. - $g$ est strictement décroissante sur $]0; +\infty[$. - Par impaire, $g$ est strictement croissante sur $]-\infty; 0[$. Tableau de variation (flèches) : $$\begin{array}{c|ccc|c} x & -\infty & & 0 & +\infty \\ g(x) & \nearrow & 0 & \searrow & \\ \end{array}$$