1. **Énoncé du problème :** Calculer $f(0)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to (-1)^+} f(x)$ pour la fonction $f$ définie sur $I = ]-1, +\infty[$ par $$f(x) = \frac{x}{\sqrt{x+1}}.$$ 2. **Formule et règles importantes :** - Pour calculer $f(0)$, il suffit de remplacer $x$ par 0 dans l'expression de $f$. - Pour les limites, on analyse le comportement de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et vers $-1$ par la droite. 3. **Calcul de $f(0)$ :** $$f(0) = \frac{0}{\sqrt{0+1}} = \frac{0}{1} = 0.$$ 4. **Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ :** On étudie $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x+1}}.$$ Pour simplifier, on divise numérateur et dénominateur par $\sqrt{x}$ : $$\frac{x}{\sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} = \sqrt{x} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{\frac{x}{x+1}}.$$ Quand $x \to +\infty$, $\frac{x}{x+1} \to 1$, donc $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{x}{x+1}} = 1.$$ Ainsi, $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} \cdot 1 = +\infty.$$ 5. **Calcul de $\lim_{x \to (-1)^+} f(x)$ :** Quand $x \to -1$ par la droite, $x+1 \to 0^+$, donc $\sqrt{x+1} \to 0^+$. Le numérateur $x \to -1$. Donc $$f(x) = \frac{x}{\sqrt{x+1}} \approx \frac{-1}{\text{très petit positif}} = -\infty.$$ **Réponses finales :** - $f(0) = 0$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to (-1)^+} f(x) = -\infty$