1. Énonçons le problème : Trouver les valeurs critiques d'une fonction dont la dérivée est donnée par $$f'(x) = 3(x-3)^2 (x+1) + (x-1)^3$$. 2. Les valeurs critiques sont les points où la dérivée s'annule ou n'existe pas. Ici, la dérivée est un polynôme, donc elle existe partout. Nous cherchons donc les solutions de $$f'(x) = 0$$. 3. Posons $$3(x-3)^2 (x+1) + (x-1)^3 = 0$$. 4. Pour résoudre cette équation, on peut essayer de factoriser ou de regrouper les termes. Observons que c'est une somme de deux termes : $$3(x-3)^2 (x+1)$$ et $$(x-1)^3$$. 5. Essayons de développer ou de chercher une factorisation commune. Cependant, il est plus simple de chercher les racines en testant les points où chaque terme s'annule : - $$3(x-3)^2 (x+1) = 0$$ quand $$x=3$$ ou $$x=-1$$. - $$(x-1)^3 = 0$$ quand $$x=1$$. 6. Vérifions si ces points annulent la somme : - Pour $$x=3$$ : $$3(0)^2 (3+1) + (3-1)^3 = 0 + 2^3 = 8 \neq 0$$. - Pour $$x=-1$$ : $$3(-4)^2 (0) + (-2)^3 = 0 -8 = -8 \neq 0$$. - Pour $$x=1$$ : $$3(-2)^2 (2) + 0 = 3 \times 4 \times 2 + 0 = 24 \neq 0$$. 7. Aucun de ces points n'annule la dérivée. Il faut donc résoudre l'équation complète : $$3(x-3)^2 (x+1) + (x-1)^3 = 0$$. 8. Développons pour simplifier : - $$3(x-3)^2 (x+1) = 3(x^2 - 6x + 9)(x+1) = 3(x^3 - 5x^2 + 3x + 9) = 3x^3 - 15x^2 + 9x + 27$$. - $$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x -1$$. 9. Additionnons : $$3x^3 - 15x^2 + 9x + 27 + x^3 - 3x^2 + 3x -1 = 4x^3 - 18x^2 + 12x + 26$$. 10. L'équation devient : $$4x^3 - 18x^2 + 12x + 26 = 0$$. 11. Cherchons les racines de ce polynôme cubique. On peut essayer des racines rationnelles parmi les diviseurs de 26 sur 4, soit $$\pm1, \pm2, \pm13, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{13}{2}$$. 12. Testons $$x=1$$ : $$4 - 18 + 12 + 26 = 24 \neq 0$$. Testons $$x=-1$$ : $$-4 - 18 - 12 + 26 = -8 \neq 0$$. Testons $$x=2$$ : $$32 - 72 + 24 + 26 = 10 \neq 0$$. Testons $$x=-2$$ : $$-32 - 72 - 24 + 26 = -102 \neq 0$$. 13. Aucun de ces candidats n'est racine. On peut utiliser la formule de Cardan ou une méthode numérique pour trouver les racines. 14. Pour simplifier, on peut approximer numériquement les racines de $$4x^3 - 18x^2 + 12x + 26 = 0$$. 15. Conclusion : Les valeurs critiques sont les solutions réelles de $$4x^3 - 18x^2 + 12x + 26 = 0$$, qui peuvent être trouvées par calcul numérique. Réponse finale : Les valeurs critiques sont les racines réelles de $$4x^3 - 18x^2 + 12x + 26 = 0$$.