1. Énoncé du problème. Je dois tracer la courbe de la fonction donnée. $$y=\frac{x}{\sqrt{\frac{8}{x^2-1}}}$$ 2. Domaine de définition. La racine carrée requiert que l'expression à l'intérieur soit strictement positive. Donc $\frac{8}{x^2-1}>0$ implique $x^2-1>0$. Ainsi le domaine est $$D=(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$$ 3. Simplification de l'expression. On peut simplifier la racine : $$\sqrt{\frac{8}{x^2-1}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-1}}$$ Donc $$y=\frac{x\,\sqrt{x^2-1}}{2\sqrt{2}}$$ 4. Limites et comportement aux bornes. Quand $x\to1^+$ on a $x^2-1\to0^+$ donc $\sqrt{\frac{8}{x^2-1}}\to+\infty$ et $y\to0$. Quand $x\to-1^-$ on a de même $y\to0$. Pour $x\to+\infty$ on a $\sqrt{\frac{8}{x^2-1}}\sim\frac{2\sqrt{2}}{x}$ donc $$y\sim\frac{x^2}{2\sqrt{2}}\quad\text{quand }x\to+\infty$$ Pour $x\to-\infty$ on obtient $$y\sim-\frac{x^2}{2\sqrt{2}}\quad\text{quand }x\to-\infty$$ 5. Dérivée et extrema. Posons $c=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ et $y=cx\sqrt{x^2-1}$. La dérivée s'écrit $$y'=c\frac{2x^2-1}{\sqrt{x^2-1}}$$ Sur le domaine $|x|>1$ on a $2x^2-1>0$ et $\sqrt{x^2-1}>0$ donc $y'>0$ sur chaque composante du domaine. Il n'y a donc pas d'extrema locaux sur $D$. 6. Remarques pour le tracé. Le graphe a deux branches définies pour $x<-1$ et pour $x>1$. Près de $x=\pm1$ la courbe tend vers 0. Pour grandes valeurs de $|x|$ la valeur absolue de $y$ croît comme $\frac{x^2}{2\sqrt{2}}$ et la branche à droite est positive tandis que la branche à gauche est négative. Il n'y a pas d'intersection avec les axes. Réponse finale : La courbe est donnée par $$y=\frac{x}{\sqrt{\frac{8}{x^2-1}}}=\frac{x\sqrt{x^2-1}}{2\sqrt{2}}$$ Domaine : $$D=(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$$ Comportement : deux branches monotones croissantes, $y\to0$ quand $x\to\pm1$ et $y\sim\pm\frac{x^2}{2\sqrt{2}}$ quand $x\to\pm\infty$.