1. Énoncé du théorème des accroissements finis (TAF) : Le théorème des accroissements finis affirme que si une fonction $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a,b]$ et dérivable sur l'intervalle ouvert $]a,b[$, alors il existe au moins un point $c \in ]a,b[$ tel que $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$ 2. Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continue, strictement positive sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. (a) Définition de $g$ : On pose $g(x) = \ln[f(x)]$. - Domaine de définition de $g$ : $D_g = \{x \in [a,b] : f(x) > 0\} = [a,b]$ car $f$ est strictement positive. - Domaine de dérivation de $g$ : $D_g' = ]a,b[$ car $f$ est dérivable sur $]a,b[$ et $f(x) > 0$ assure que $\ln[f(x)]$ est dérivable. Calcul de $g'(x)$ pour $x \in ]a,b[$ : $$g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}.$$ (b) Application du théorème des accroissements finis à $g$ : Puisque $g$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$, il existe $c \in ]a,b[$ tel que $$g'(c) = \frac{g(b) - g(a)}{b - a}.$$ Or, $$g(b) - g(a) = \ln[f(b)] - \ln[f(a)] = \ln\left(\frac{f(b)}{f(a)}\right).$$ Donc $$\frac{f'(c)}{f(c)} = \frac{\ln\left(\frac{f(b)}{f(a)}\right)}{b - a}.$$ En exponentiant les deux côtés de l'équation obtenue pour $g(b) - g(a)$, on a $$\frac{f(b)}{f(a)} = e^{(b - a) \frac{f'(c)}{f(c)}}.$$ En multipliant par $f(a)$, on obtient $$f(b) = f(a) e^{(b - a) \frac{f'(c)}{f(c)}}.$$ Ceci démontre l'existence d'un $c \in ]a,b[$ tel que $$f(b) = f(a) e^{(b - a) \frac{f'(c)}{f(c)}}.$$