1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $k(x) = \frac{5}{x^2}$. On veut montrer que le taux de variation de $k$ entre 1 et $1+h$ (avec $h \neq 0$ et $h \neq -1$) est donné par $$\tau(h) = \frac{-5h - 10}{(h+1)^2}.$$ 2. **Formule du taux de variation :** Le taux de variation de $k$ entre 1 et $1+h$ est $$\tau(h) = \frac{k(1+h) - k(1)}{(1+h) - 1} = \frac{k(1+h) - k(1)}{h}.$$ 3. **Calcul de $k(1+h)$ et $k(1)$ :** $$k(1+h) = \frac{5}{(1+h)^2}, \quad k(1) = \frac{5}{1^2} = 5.$$ 4. **Calcul du taux de variation :** $$\tau(h) = \frac{\frac{5}{(1+h)^2} - 5}{h} = \frac{5 - 5(1+h)^2}{h(1+h)^2} = \frac{5 - 5(1 + 2h + h^2)}{h(1+h)^2}.$$ 5. **Simplification du numérateur :** $$5 - 5(1 + 2h + h^2) = 5 - 5 - 10h - 5h^2 = -10h - 5h^2.$$ 6. **On factorise par $-5h$ :** $$-10h - 5h^2 = -5h(2 + h).$$ 7. **Substitution dans $\tau(h)$ :** $$\tau(h) = \frac{-5h(2 + h)}{h(1+h)^2} = \frac{-5(2 + h)}{(1+h)^2} = \frac{-5h - 10}{(h+1)^2}.$$ Cela montre bien la formule demandée. --- 8. **Dérivabilité en 1 et calcul de $k'(1)$ :** La dérivée de $k$ en 1 est la limite du taux de variation quand $h \to 0$ : $$k'(1) = \lim_{h \to 0} \tau(h) = \lim_{h \to 0} \frac{-5h - 10}{(h+1)^2}.$$ 9. **Calcul de la limite :** $$k'(1) = \frac{-5 \times 0 - 10}{(0+1)^2} = \frac{-10}{1} = -10.$$ 10. **Vérification avec la dérivée analytique :** La fonction $k(x) = 5x^{-2}$ a pour dérivée $$k'(x) = 5 \times (-2) x^{-3} = -10 x^{-3} = -\frac{10}{x^3}.$$ En $x=1$, $$k'(1) = -\frac{10}{1^3} = -10,$$ ce qui confirme le résultat. 11. **Vérification à l’aide de la calculatrice :** On peut calculer la pente de la tangente en $x=1$ avec une calculatrice ou un logiciel, qui doit donner environ $-10$. **Réponse finale :** $$\boxed{k'(1) = -10}.$$