### Exercice 1 1. **Énoncé :** Pour tout entier $k \in [2,n]$, on pose $$S_n = \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2 - k}.$$ (a) Trouver les réels $A, B$ tels que $$\frac{1}{(k-1)k} = \frac{A}{k-1} + \frac{B}{k}.$$ (b) Déterminer l'expression de $S_n$ en fonction de $n$. (c) Calculer $$\lim_{n \to +\infty} S_n.$$ 2. Pour tout entier $k \in [2,n]$, on pose $$P_n = \prod_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k^2 - k}.$$ (a) Déterminer l'expression de $P_n$ en fonction de $n$. (b) Calculer $$\lim_{n \to +\infty} P_n.$$ --- ### Solution Exercice 1 1. (a) On cherche $A, B$ tels que $$\frac{1}{(k-1)k} = \frac{A}{k-1} + \frac{B}{k} = \frac{A k + B(k-1)}{(k-1)k}.$$ Égalant les numérateurs : $$1 = A k + B(k-1) = (A + B)k - B.$$ Pour que cette égalité soit vraie pour tout $k$, on identifie les coefficients : - Coefficient de $k$ : $A + B = 0$ - Terme constant : $-B = 1$ donc $B = -1$ D'où $A = 1$. Donc $$\frac{1}{(k-1)k} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}.$$ (b) On a $$S_n = \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2 - k} = \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right).$$ C'est une somme télescopique : $$S_n = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right).$$ Tous les termes intermédiaires s'annulent, il reste : $$S_n = 1 - \frac{1}{n}.$$ (c) La limite quand $n \to +\infty$ est $$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n} \right) = 1.$$ --- 2. (a) On a $$P_n = \prod_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k^2 - k} = \prod_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k(k-1)} = \prod_{k=2}^n (-1)^k \times \prod_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)}.$$ On peut écrire $$\prod_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)} = \prod_{k=2}^n \frac{1}{k-1} \times \frac{1}{k} = \left( \prod_{k=2}^n \frac{1}{k-1} \right) \times \left( \prod_{k=2}^n \frac{1}{k} \right).$$ Calculons chaque produit : $$\prod_{k=2}^n \frac{1}{k-1} = \frac{1}{1} \times \frac{1}{2} \times \cdots \times \frac{1}{n-1} = \frac{1}{(n-1)!},$$ $$\prod_{k=2}^n \frac{1}{k} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \cdots \times \frac{1}{n} = \frac{1}{n!}.$$ Donc $$\prod_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{(n-1)!} \times \frac{1}{n!} = \frac{1}{n! (n-1)!}.$$ Pour le produit des signes : $$\prod_{k=2}^n (-1)^k = (-1)^{\sum_{k=2}^n k} = (-1)^{\frac{n(n+1)}{2} - 1}.$$ (b) La limite quand $n \to +\infty$ : Les factorielles croissent très vite, donc $$\lim_{n \to +\infty} P_n = \lim_{n \to +\infty} (-1)^{\frac{n(n+1)}{2} - 1} \times \frac{1}{n! (n-1)!} = 0.$$ --- ### Exercice 2 Calculer les limites : 1) $$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x + \sin x}.$$ 2) $$\lim_{x \to 0} x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right).$$ 3) $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{\ln(x+1)}.$$ --- ### Solution Exercice 2 1) Utilisons le développement limité de $\sin x$ autour de 0 : $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).$$ Donc $$x - \sin x = x - \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \right) = \frac{x^3}{6} + o(x^3).$$ De même, $$x + \sin x = x + \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \right) = 2x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).$$ Donc $$\frac{x - \sin x}{x + \sin x} = \frac{\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{2x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)} = \frac{x^3/6 + o(x^3)}{2x + o(x)} = \frac{x^3/6 + o(x^3)}{2x + o(x)}.$$ Divisons numérateur et dénominateur par $x$ : $$= \frac{x^2/6 + o(x^2)}{2 + o(1)} \to 0 \quad \text{quand } x \to 0.$$ Donc $$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x + \sin x} = 0.$$ 2) On sait que $|\sin(1/x)| \leq 1$, donc $$|x^2 \sin(1/x)| \leq x^2,$$ et $$\lim_{x \to 0} x^2 = 0,$$ par le théorème des gendarmes, $$\lim_{x \to 0} x^2 \sin(1/x) = 0.$$ 3) Pour $x \to +\infty$, $\ln(x+1)$ croît beaucoup plus lentement que $x^2$, donc $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{\ln(x+1)} = +\infty.$$ --- ### Exercice 3 On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = \begin{cases} -x & \text{si } x > 0 \\ e^x & \text{si } x \leq 0 \end{cases}.$$ 1) Tracer la courbe représentative de $f$. 2) Étudier la continuité de $f$ en 0. 3) Étudier la dérivabilité de $f$ en 0. --- ### Solution Exercice 3 1) La fonction est définie par morceaux : - Pour $x > 0$, $f(x) = -x$, une droite décroissante passant par l'origine. - Pour $x \leq 0$, $f(x) = e^x$, une fonction exponentielle croissante, avec $f(0) = 1$. 2) Continuité en 0 : - Limite à gauche : $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^x = e^0 = 1.$$ - Limite à droite : $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0.$$ - Valeur en 0 : $$f(0) = e^0 = 1.$$ Les limites à gauche et à droite ne sont pas égales, donc $f$ n'est pas continue en 0. 3) Dérivabilité en 0 : La dérivabilité implique la continuité, donc $f$ n'est pas dérivable en 0. ---