1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux exercices principaux avec plusieurs questions. --- ### Exercice 1 **(1a)** Trouver les réels $A, B$ tels que $$\frac{1}{(k-1)k} = \frac{A}{k-1} + \frac{B}{k}.$$ **Solution :** 1. Multiplier par $(k-1)k$ pour éliminer les dénominateurs : $$1 = A k + B (k-1) = (A + B)k - B.$$ 2. Cette égalité doit être vraie pour tout $k$, donc on identifie les coefficients : $$\begin{cases} A + B = 0 \\ -B = 1 \end{cases} \Rightarrow B = -1, A = 1.$$ **(1b)** Déterminer l'expression de $S_n = \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2 - k}$ en fonction de $n$. 1. Remarquer que $k^2 - k = k(k-1)$, donc $$\frac{1}{k^2 - k} = \frac{1}{(k-1)k} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}.$$ 2. La somme devient $$S_n = \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right).$$ 3. C'est une somme télescopique, donc $$S_n = 1 - \frac{1}{n}.$$ **(1c)** Calculer $$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right) = 1.$$ --- **(2a)** Pour $$P_n = \prod_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k^2 - k},$$ exprimer $P_n$ en fonction de $n$. 1. On écrit $$P_n = \prod_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k(k-1)} = \prod_{k=2}^n (-1)^k \times \prod_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)}.$$ 2. Le produit des dénominateurs est $$\prod_{k=2}^n k(k-1) = \left(\prod_{k=2}^n k\right) \left(\prod_{k=2}^n (k-1)\right) = (2 \times 3 \times \cdots \times n) \times (1 \times 2 \times \cdots \times (n-1)) = n! \times (n-1)!.$$ 3. Le produit des signes : $$\prod_{k=2}^n (-1)^k = (-1)^{\sum_{k=2}^n k} = (-1)^{\frac{n(n+1)}{2} - 1}.$$ 4. Donc $$P_n = \frac{(-1)^{\frac{n(n+1)}{2} - 1}}{n! (n-1)!}.$$ **(2b)** Calculer $$\lim_{n \to +\infty} P_n.$$ 1. Comme $n!$ et $(n-1)!$ tendent vers l'infini très rapidement, on a $$\lim_{n \to +\infty} P_n = 0.$$ --- ### Exercice 2 Calculer les limites : **(1)** $$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x + \sin x}.$$ 1. Utiliser les développements limités : $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$. 2. Numérateur : $$x - \sin x = x - \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) = \frac{x^3}{6} + o(x^3).$$ 3. Dénominateur : $$x + \sin x = x + \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) = 2x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).$$ 4. Donc $$\frac{x - \sin x}{x + \sin x} = \frac{\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{2x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)} = \frac{x^3/6 + o(x^3)}{2x + o(x)} = \frac{x^3}{6} \times \frac{1}{2x} + o(x^2) = \frac{x^2}{12} + o(x^2).$$ 5. En $x \to 0$, la limite est donc $$0.$$ **(2)** $$\lim_{x \to 0} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right).$$ 1. Comme $\sin$ est bornée entre $-1$ et $1$, on a $$-x^2 \leq x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2.$$ 2. Par le théorème des gendarmes, la limite est $$0.$$ **(3)** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{\ln(x+1)}.$$ 1. Le numérateur tend vers $+\infty$ plus vite que le dénominateur. 2. Donc la limite est $$+\infty.$$ --- ### Exercice 3 On considère $$f(x) = \begin{cases} -x & x > 0 \\ e^{-x} & x \leq 0 \end{cases}.$$ **(1)** Tracer la courbe : - Pour $x > 0$, $f(x) = -x$ est une droite décroissante passant par l'origine. - Pour $x \leq 0$, $f(x) = e^{-x}$ est une fonction exponentielle croissante sur $(-\infty,0]$. **(2)** Continuité en 0 : 1. Calculer $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = e^0 = 1,$$ $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -0 = 0,$$ $$f(0) = e^0 = 1.$$ 2. Comme $\lim_{0^-} f \neq \lim_{0^+} f$, $f$ n'est pas continue en 0. **(3)** Dérivabilité en 0 : 1. Dérivée à gauche : $$f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{e^{-h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1 - h + \frac{h^2}{2} + o(h^2) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h + \frac{h^2}{2} + o(h^2)}{h} = -1.$$ 2. Dérivée à droite : $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h - 1}{h} = -\infty,$$ mais en fait $f(0) = 1$, donc $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h - 1}{h} = -\infty,$$ ce qui n'existe pas. 3. Donc $f$ n'est pas dérivable en 0. --- **Résumé :** - $S_n = 1 - \frac{1}{n}$ et $\lim_{n \to +\infty} S_n = 1$. - $P_n = \frac{(-1)^{\frac{n(n+1)}{2} - 1}}{n! (n-1)!}$ et $\lim_{n \to +\infty} P_n = 0$. - Limites de l'exercice 2 sont $0$, $0$, $+\infty$ respectivement. - $f$ n'est pas continue ni dérivable en 0.