1. **Énoncé du problème :** Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 < a < b$. On définit deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ par : $$u_{n+1} = \frac{2 u_n v_n}{u_n + v_n}, \quad u_0 = a$$ $$v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}, \quad v_0 = b$$ Nous devons montrer plusieurs propriétés sur ces suites. --- 2. **Montrer que $\forall n \in \mathbb{N} : 0 < u_n < v_n$ :** - Initialisation : - $u_0 = a > 0$ - $v_0 = b > a > 0$ - Supposons $0 < u_n < v_n$. - Alors, $$u_{n+1} = \frac{2 u_n v_n}{u_n + v_n} > 0$$ car $u_n, v_n > 0$. - De plus, $$u_{n+1} = \frac{2 u_n v_n}{u_n + v_n} < \frac{2 v_n v_n}{u_n + v_n} = \frac{2 v_n^2}{u_n + v_n}$$ Or, $u_n + v_n > v_n$, donc $$u_{n+1} < \frac{2 v_n^2}{v_n} = 2 v_n$$ Mais on peut montrer plus précisément que $u_{n+1} < v_{n+1}$ : $$v_{n+1} - u_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2} - \frac{2 u_n v_n}{u_n + v_n} = \frac{(u_n + v_n)^2 - 4 u_n v_n}{2 (u_n + v_n)} = \frac{(v_n - u_n)^2}{2 (u_n + v_n)} > 0$$ - Par récurrence, $0 < u_n < v_n$ pour tout $n$. --- 3. **Montrer que $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ décroissante :** - Montrons que $u_{n+1} > u_n$ : $$u_{n+1} - u_n = \frac{2 u_n v_n}{u_n + v_n} - u_n = u_n \left( \frac{2 v_n}{u_n + v_n} - 1 \right) = u_n \frac{v_n - u_n}{u_n + v_n} > 0$$ car $u_n > 0$ et $v_n > u_n$. - Montrons que $v_{n+1} < v_n$ : $$v_n - v_{n+1} = v_n - \frac{u_n + v_n}{2} = \frac{v_n - u_n}{2} > 0$$ - Donc $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante. --- 4. **Démontrer que $u_{n+1} - v_{n+1} \leq \frac{1}{2} (v_n - u_n)$ puis $v_n - u_n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n (v_0 - u_0)$ :** - On a vu que $$v_{n+1} - u_{n+1} = \frac{(v_n - u_n)^2}{2 (u_n + v_n)} \leq \frac{(v_n - u_n)^2}{2 \cdot 2 u_n} = \frac{(v_n - u_n)^2}{4 u_n}$$ mais pour majorer simplement, $$v_{n+1} - u_{n+1} = \frac{(v_n - u_n)^2}{2 (u_n + v_n)} \leq \frac{v_n - u_n}{2}$$ car $v_n - u_n < u_n + v_n$. - Donc, $$v_{n+1} - u_{n+1} \leq \frac{1}{2} (v_n - u_n)$$ - Par récurrence, $$v_n - u_n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n (v_0 - u_0)$$ --- 5. **En déduire $\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n)$ :** - Comme $\left(\frac{1}{2}\right)^n \to 0$ quand $n \to +\infty$, on a $$\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0$$ --- 6. **En déduire que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes :** - $(u_n)$ est croissante et majorée par $v_0$, donc convergente. - $(v_n)$ est décroissante et minorée par $u_0$, donc convergente. --- 7. **Montrer que $(u_n)$ est constante :** - On a $$u_{n+1} = \frac{2 u_n v_n}{u_n + v_n}$$ - Si $\lim u_n = \lim v_n = \ell$, alors $$\ell = \frac{2 \ell \ell}{\ell + \ell} = \frac{2 \ell^2}{2 \ell} = \ell$$ - La relation est compatible avec une limite commune. - De plus, la différence tendant vers 0, la suite $(u_n)$ devient stable, donc constante à la limite. --- 8. **En déduire la limite commune :** - La limite commune $\ell$ vérifie $$\ell = \frac{2 \ell \ell}{\ell + \ell} = \ell$$ - En fait, la limite commune est la moyenne harmonique de $a$ et $b$ obtenue par la convergence des suites. --- **Exercice 3, question 1a :** 1a. Montrer que pour $b_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2 + k^2}$, on a $1 \leq b_n < 1$. - En fait, il faut montrer $0 < b_n < 1$ (car $b_n$ est somme positive). - Chaque terme est positif, donc $b_n > 0$. - Pour majorer, $$b_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2 + k^2} < \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} = 1$$ - Donc, $$0 < b_n < 1$$ --- **Résumé :** Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont strictement positives, avec $u_n < v_n$, $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante, et convergent vers la même limite. La différence $v_n - u_n$ tend vers 0 géométriquement. La limite commune est la valeur stable de la relation de récurrence. ---