1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$u_0 = \sqrt[3]{\frac{2}{7}}, \quad u_{n+1} = \sqrt[3]{u_n^3 + \frac{1}{8}}$$ On définit aussi la suite $(v_n)$ par : $$v_n = \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{8}$$ 2. **Montrer que $(v_n)$ est géométrique et déterminer sa raison :** Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \frac{7}{8} u_{n+1}^3 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \left(u_n^3 + \frac{1}{8}\right) - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} u_n^3 + \frac{7}{64} - \frac{1}{8}$$ Simplifions les constantes : $$\frac{7}{64} - \frac{1}{8} = \frac{7}{64} - \frac{8}{64} = -\frac{1}{64}$$ Donc : $$v_{n+1} = \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{64}$$ Or, $v_n = \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{8}$, donc pour que $v_{n+1} = q v_n$, il faut vérifier la relation. Cependant, il semble y avoir une erreur dans la simplification, reprenons : Recalculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \frac{7}{8} u_{n+1}^3 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \left(u_n^3 + \frac{1}{8}\right) - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} u_n^3 + \frac{7}{64} - \frac{1}{8}$$ $$= \frac{7}{8} u_n^3 + \frac{7}{64} - \frac{8}{64} = \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{64}$$ Mais $v_n = \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{8}$, donc : $$v_{n+1} = \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{64} = v_n + \left(-\frac{1}{64} + \frac{1}{8}\right) = v_n + \frac{7}{64}$$ Cela montre que $v_n$ n'est pas géométrique mais affine. Il faut donc vérifier l'énoncé ou la définition. **Correction :** Reprenons la définition de $v_n$ : $$v_n = \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{8}$$ Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \frac{7}{8} u_{n+1}^3 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \left(u_n^3 + \frac{1}{8}\right) - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} u_n^3 + \frac{7}{64} - \frac{1}{8}$$ $$= \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{64} = v_n + \left(-\frac{1}{64} + \frac{1}{8}\right)$$ Or $-\frac{1}{64} + \frac{1}{8} = \frac{7}{64}$, donc : $$v_{n+1} = v_n + \frac{7}{64}$$ Donc $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $\frac{7}{64}$, pas géométrique. 3. **Calculer $(v_n)$ puis $(u_n)$ en fonction de $n$ :** La suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $r = \frac{7}{64}$ et de premier terme : $$v_0 = \frac{7}{8} u_0^3 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \times \frac{2}{7} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$$ Donc : $$v_n = v_0 + n r = \frac{1}{8} + n \times \frac{7}{64} = \frac{1}{8} + \frac{7n}{64} = \frac{8 + 7n}{64}$$ Puis, en isolant $u_n^3$ : $$v_n = \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{7}{8} u_n^3 = v_n + \frac{1}{8} \Rightarrow u_n^3 = \frac{8}{7} \left(v_n + \frac{1}{8}\right)$$ Substituons $v_n$ : $$u_n^3 = \frac{8}{7} \left(\frac{8 + 7n}{64} + \frac{1}{8}\right) = \frac{8}{7} \left(\frac{8 + 7n}{64} + \frac{8}{64}\right) = \frac{8}{7} \times \frac{16 + 7n}{64} = \frac{8}{7} \times \frac{16 + 7n}{64}$$ Simplifions : $$u_n^3 = \frac{8 (16 + 7n)}{7 \times 64} = \frac{16 + 7n}{56}$$ Donc : $$u_n = \sqrt[3]{\frac{16 + 7n}{56}}$$ 4. **Calculer la limite $\lim_{n \to \infty} u_n$ :** On a : $$u_n = \sqrt[3]{\frac{16 + 7n}{56}} = \sqrt[3]{\frac{7n + 16}{56}}$$ Quand $n \to \infty$, $\frac{7n + 16}{56} \sim \frac{7n}{56} = \frac{n}{8}$, donc : $$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{\frac{n}{8}} = +\infty$$ **Conclusion :** - $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $\frac{7}{64}$. - $v_n = \frac{8 + 7n}{64}$. - $u_n = \sqrt[3]{\frac{16 + 7n}{56}}$. - $\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty$.