1. **Énoncé du problème :** Calculer la suite $(v_n)$ puis $(u_n)$ en fonction de $n$ pour la suite $(u_n)$ définie par : $$u_0 = \sqrt[3]{\frac{2}{7}}, \quad u_{n+1} = \sqrt[3]{(u_n)^3 + \frac{1}{8}}$$ 2. **Définition de $v_n$ :** On pose : $$v_n = \frac{7}{8}(u_n)^3 - \frac{1}{8}$$ 3. **Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique :** Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \frac{7}{8}(u_{n+1})^3 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \left((u_n)^3 + \frac{1}{8}\right) - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}(u_n)^3 + \frac{7}{64} - \frac{1}{8}$$ Simplifions les constantes : $$\frac{7}{64} - \frac{1}{8} = \frac{7}{64} - \frac{8}{64} = -\frac{1}{64}$$ Donc : $$v_{n+1} = \frac{7}{8}(u_n)^3 - \frac{1}{64}$$ Or, on a : $$v_n = \frac{7}{8}(u_n)^3 - \frac{1}{8}$$ Pour que $(v_n)$ soit géométrique, on cherche un $q$ tel que : $$v_{n+1} = q v_n$$ Essayons d'exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ : $$v_{n+1} = \frac{7}{8}(u_n)^3 - \frac{1}{64} = v_n + \left(-\frac{1}{64} + \frac{1}{8}\right) = v_n + \frac{7}{64}$$ Ce n'est pas une relation de type géométrique mais une relation affine. Cependant, reprenons la définition de $v_n$ pour vérifier : $$v_n = \frac{7}{8}(u_n)^3 - \frac{1}{8}$$ Donc : $$(u_n)^3 = \frac{8}{7} \left(v_n + \frac{1}{8}\right)$$ Utilisons la relation de récurrence : $$(u_{n+1})^3 = (u_n)^3 + \frac{1}{8} = \frac{8}{7} \left(v_n + \frac{1}{8}\right) + \frac{1}{8} = \frac{8}{7} v_n + 1$$ Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \frac{7}{8} (u_{n+1})^3 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \left(\frac{8}{7} v_n + 1\right) - \frac{1}{8} = v_n + \frac{7}{8} - \frac{1}{8} = v_n + \frac{6}{8} = v_n + \frac{3}{4}$$ Donc la suite $(v_n)$ vérifie : $$v_{n+1} = v_n + \frac{3}{4}$$ C'est une suite arithmétique de raison $r = \frac{3}{4}$. 4. **Calcul de $(v_n)$ en fonction de $n$ :** La suite arithmétique de premier terme $v_0$ est : $$v_0 = \frac{7}{8} (u_0)^3 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \times \frac{2}{7} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$$ Donc : $$v_n = v_0 + n r = \frac{1}{8} + n \times \frac{3}{4} = \frac{1}{8} + \frac{3n}{4} = \frac{1 + 6n}{8}$$ 5. **Calcul de $(u_n)$ en fonction de $n$ :** On a : $$v_n = \frac{7}{8} (u_n)^3 - \frac{1}{8} \Rightarrow (u_n)^3 = \frac{8}{7} \left(v_n + \frac{1}{8}\right)$$ Substituons $v_n$ : $$ (u_n)^3 = \frac{8}{7} \left(\frac{1 + 6n}{8} + \frac{1}{8}\right) = \frac{8}{7} \times \frac{2 + 6n}{8} = \frac{2 + 6n}{7} = \frac{2(1 + 3n)}{7}$$ Donc : $$u_n = \sqrt[3]{\frac{2(1 + 3n)}{7}}$$ **Réponse finale :** $$\boxed{u_n = \sqrt[3]{\frac{2(1 + 3n)}{7}}}$$