1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(U_n)$ définie par $U_0 = \frac{1}{2}$ et $U_{n+1} = \frac{2U_n}{1 + U_n^2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On veut montrer que pour tout $n$, $\frac{1}{2} \leq U_n < 1$. 2. **Démonstration de la borne inférieure et supérieure de $U_n$ :** - Initialisation : $U_0 = \frac{1}{2}$, donc $\frac{1}{2} \leq U_0 < 1$ est vraie. - Hypothèse de récurrence : Supposons que $\frac{1}{2} \leq U_n < 1$. - Montrons que $\frac{1}{2} \leq U_{n+1} < 1$. 3. **Calcul de $U_{n+1}$ :** $$U_{n+1} = \frac{2U_n}{1 + U_n^2}$$ - Comme $U_n \geq \frac{1}{2} > 0$, le numérateur est positif. - Le dénominateur $1 + U_n^2 > 1$ car $U_n^2 > 0$. 4. **Montrons que $U_{n+1} < 1$ :** $$U_{n+1} < 1 \iff \frac{2U_n}{1 + U_n^2} < 1 \iff 2U_n < 1 + U_n^2 \iff U_n^2 - 2U_n + 1 > 0$$ - Or, $U_n^2 - 2U_n + 1 = (U_n - 1)^2 \geq 0$. - Comme $U_n < 1$, $(U_n - 1)^2 > 0$, donc $U_{n+1} < 1$. 5. **Montrons que $U_{n+1} \geq \frac{1}{2}$ :** $$U_{n+1} = \frac{2U_n}{1 + U_n^2} \geq \frac{1}{2} \iff 4U_n \geq 1 + U_n^2 \iff U_n^2 - 4U_n + 1 \leq 0$$ - Étudions le discriminant : $\Delta = 16 - 4 = 12 > 0$. - Les racines sont $2 \pm \sqrt{3}$. - Comme $\frac{1}{2} \leq U_n < 1$, $U_n$ est dans l'intervalle où $U_n^2 - 4U_n + 1 \leq 0$. - Donc $U_{n+1} \geq \frac{1}{2}$. 6. **Conclusion pour la question 1 :** Par récurrence, pour tout $n$, $\frac{1}{2} \leq U_n < 1$. --- 7. **Question 2-a : Montrer que $0 < 1 - U_{n+1} \leq \frac{2}{5}(1 - U_n)$** - Partons de $U_{n+1} = \frac{2U_n}{1 + U_n^2}$. - Calculons $1 - U_{n+1}$ : $$1 - U_{n+1} = 1 - \frac{2U_n}{1 + U_n^2} = \frac{1 + U_n^2 - 2U_n}{1 + U_n^2} = \frac{(1 - U_n)^2}{1 + U_n^2}$$ - Comme $\frac{1}{2} \leq U_n < 1$, on a $1 + U_n^2 \geq 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. - Donc : $$1 - U_{n+1} = \frac{(1 - U_n)^2}{1 + U_n^2} \leq \frac{(1 - U_n)^2}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}(1 - U_n)^2$$ - Or, puisque $0 < 1 - U_n \leq \frac{1}{2}$ (car $U_n \geq \frac{1}{2}$), on a $(1 - U_n)^2 \leq \frac{1}{2}(1 - U_n)$. - Donc : $$1 - U_{n+1} \leq \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} (1 - U_n) = \frac{2}{5} (1 - U_n)$$ - De plus, $1 - U_{n+1} > 0$ car $U_{n+1} < 1$. 8. **Question 2-b : Déduire que $0 < 1 - U_n \leq \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^n$** - Par récurrence : - Initialisation : $1 - U_0 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. - Hypothèse : $1 - U_n \leq \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^n$. - D'après 2-a : $$1 - U_{n+1} \leq \frac{2}{5} (1 - U_n) \leq \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^n = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}$$ - Donc la propriété est vraie pour tout $n$. --- **Réponse finale :** Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $$\frac{1}{2} \leq U_n < 1$$ $$0 < 1 - U_{n+1} \leq \frac{2}{5} (1 - U_n)$$ $$0 < 1 - U_n \leq \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^n$$