1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $$U_0 = -1, \quad U_{n+1} = \frac{-4}{U_n + 4}$$ Calculer $U_1$ et $U_2$. 2. **Calcul de $U_1$ et $U_2$ :** $$U_1 = \frac{-4}{U_0 + 4} = \frac{-4}{-1 + 4} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$$ $$U_2 = \frac{-4}{U_1 + 4} = \frac{-4}{-\frac{4}{3} + 4} = \frac{-4}{\frac{12}{3} - \frac{4}{3}} = \frac{-4}{\frac{8}{3}} = -4 \times \frac{3}{8} = -\frac{3}{2}$$ 3. **Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $-2 < U_n \leq -1$ :** - Initialisation : $U_0 = -1$ vérifie $-2 < -1 \leq -1$. - Supposons $-2 < U_n \leq -1$. - Alors $U_n + 4$ satisfait $2 < U_n + 4 \leq 3$. - Donc $U_{n+1} = \frac{-4}{U_n + 4}$ est dans $\left[\frac{-4}{3}, \frac{-4}{2}\right) = [-\frac{4}{3}, -2)$. - Or $-2 < -\frac{4}{3} \leq -1$, donc $-2 < U_{n+1} \leq -1$. - Par récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$. 4. **Étudier la monotonie de $(U_n)$ :** - On étudie le signe de $U_{n+1} - U_n$. - $$U_{n+1} - U_n = \frac{-4}{U_n + 4} - U_n = \frac{-4 - U_n(U_n + 4)}{U_n + 4} = \frac{-4 - U_n^2 - 4U_n}{U_n + 4} = \frac{-(U_n^2 + 4U_n + 4)}{U_n + 4} = \frac{-(U_n + 2)^2}{U_n + 4}$$ - Comme $(U_n + 2)^2 \geq 0$ et $U_n + 4 > 0$, on a $U_{n+1} - U_n \leq 0$. - Donc $(U_n)$ est décroissante. 5. **Considérons la suite $(V_n)$ définie par $V_n = \frac{1}{2 + U_n}$ :** (a) Montrer que $(V_n)$ est arithmétique, préciser sa raison et son premier terme. - Calculons $V_{n+1} - V_n$ : $$V_{n+1} - V_n = \frac{1}{2 + U_{n+1}} - \frac{1}{2 + U_n} = \frac{(2 + U_n) - (2 + U_{n+1})}{(2 + U_{n+1})(2 + U_n)} = \frac{U_n - U_{n+1}}{(2 + U_{n+1})(2 + U_n)}$$ - Or $U_{n+1} = \frac{-4}{U_n + 4}$, donc $$2 + U_{n+1} = 2 + \frac{-4}{U_n + 4} = \frac{2(U_n + 4) - 4}{U_n + 4} = \frac{2U_n + 8 - 4}{U_n + 4} = \frac{2U_n + 4}{U_n + 4} = \frac{2(U_n + 2)}{U_n + 4}$$ - Donc $$(2 + U_{n+1})(2 + U_n) = \frac{2(U_n + 2)}{U_n + 4} (2 + U_n) = \frac{2(U_n + 2)(2 + U_n)}{U_n + 4}$$ - Remarquons que $2 + U_n = U_n + 2$, donc $$(2 + U_{n+1})(2 + U_n) = \frac{2(U_n + 2)^2}{U_n + 4}$$ - Ainsi, $$V_{n+1} - V_n = \frac{U_n - U_{n+1}}{\frac{2(U_n + 2)^2}{U_n + 4}} = \frac{(U_n - U_{n+1})(U_n + 4)}{2(U_n + 2)^2}$$ - Calculons $U_n - U_{n+1}$ : $$U_n - U_{n+1} = U_n - \frac{-4}{U_n + 4} = \frac{U_n(U_n + 4) + 4}{U_n + 4} = \frac{U_n^2 + 4U_n + 4}{U_n + 4} = \frac{(U_n + 2)^2}{U_n + 4}$$ - Donc $$V_{n+1} - V_n = \frac{\frac{(U_n + 2)^2}{U_n + 4} (U_n + 4)}{2 (U_n + 2)^2} = \frac{(U_n + 2)^2}{U_n + 4} \times \frac{U_n + 4}{2 (U_n + 2)^2} = \frac{1}{2}$$ - La raison est donc $r = \frac{1}{2}$. - Le premier terme : $$V_0 = \frac{1}{2 + U_0} = \frac{1}{2 - 1} = 1$$ (b) Trouver $V_n$ en fonction de $n$ : - $(V_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $V_0 = 1$ et raison $r = \frac{1}{2}$. - Donc $$V_n = V_0 + n r = 1 + \frac{n}{2}$$ (c) En déduire $U_n$ en fonction de $n$ : - Par définition, $$V_n = \frac{1}{2 + U_n} \Rightarrow 2 + U_n = \frac{1}{V_n} = \frac{1}{1 + \frac{n}{2}} = \frac{1}{\frac{2 + n}{2}} = \frac{2}{n + 2}$$ - Donc $$U_n = \frac{2}{n + 2} - 2 = \frac{2 - 2(n + 2)}{n + 2} = \frac{2 - 2n - 4}{n + 2} = \frac{-2n - 2}{n + 2} = -2 \times \frac{n + 1}{n + 2}$$ **Réponse finale :** $$\boxed{U_n = -2 \frac{n + 1}{n + 2}}$$