1. **Énoncé du problème :** On pose $S_n = M_0 M_1 + M_1 M_2 + M_2 M_3 + \cdots + M_{n-1} M_n$. Il s'agit d'exprimer $S_n$ en fonction de $n$ puis d'étudier la convergence de la suite $(S_n)$. 2. **Formule et hypothèses :** Supposons que les points $M_k$ soient définis par une suite $(M_k)_{k\geq0}$ dont on connaît la relation entre les termes consécutifs ou leurs coordonnées. Sans cette information, on ne peut pas exprimer $S_n$ explicitement. 3. **Interprétation et méthode générale :** Si $M_k$ sont des points sur une droite ou dans le plan, et si $M_k M_{k+1}$ désigne la distance entre $M_k$ et $M_{k+1}$, alors $S_n$ est la somme des distances entre points consécutifs de $M_0$ à $M_n$. 4. **Exemple typique :** Si $M_k$ sont des points sur une droite avec coordonnées $x_k$, alors $M_k M_{k+1} = |x_{k+1} - x_k|$. La somme $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} |x_{k+1} - x_k|$. 5. **Expression en fonction de $n$ :** Si la suite $(x_k)$ est monotone, alors $S_n = |x_n - x_0|$ car la somme des distances entre points consécutifs est la distance totale entre $M_0$ et $M_n$. 6. **Convergence de $(S_n)$ :** Si $(x_n)$ converge vers une limite $L$, alors $S_n = |x_n - x_0| \to |L - x_0|$ ce qui montre que $(S_n)$ converge. 7. **Conclusion :** Ainsi, sous l'hypothèse que $M_k$ sont alignés et que la suite des coordonnées $(x_k)$ est monotone et convergente, on a $$S_n = |x_n - x_0|$$ et la suite $(S_n)$ converge vers $|L - x_0|$ où $L = \lim_{n \to \infty} x_n$. --- **Remarque :** Pour une réponse précise, il faudrait connaître la définition exacte des points $M_k$ ou la nature de la suite $(M_k)$.