1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(U_n)$ définie par $U_1 = \frac{7}{3}$ et $U_{n+1} = \frac{7U_n + 3}{3U_n + 7}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. 2. **Montrer que $U_n > 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :** - Initialisation : $U_1 = \frac{7}{3} > 1$. - Supposons $U_n > 1$, alors $$U_{n+1} = \frac{7U_n + 3}{3U_n + 7} > 1 \iff 7U_n + 3 > 3U_n + 7 \iff 4U_n > 4 \iff U_n > 1,$$ ce qui est vrai par hypothèse de récurrence. - Donc, par récurrence, $U_n > 1$ pour tout $n$. 3. **Montrer que $U_{n+1} - U_n = \frac{3(1 - U_n)(1 + U_n)}{3U_n + 7}$ :** Calculons la différence : $$U_{n+1} - U_n = \frac{7U_n + 3}{3U_n + 7} - U_n = \frac{7U_n + 3 - U_n(3U_n + 7)}{3U_n + 7} = \frac{7U_n + 3 - 3U_n^2 - 7U_n}{3U_n + 7} = \frac{3 - 3U_n^2}{3U_n + 7} = \frac{3(1 - U_n^2)}{3U_n + 7}.$$ Or $1 - U_n^2 = (1 - U_n)(1 + U_n)$, donc $$U_{n+1} - U_n = \frac{3(1 - U_n)(1 + U_n)}{3U_n + 7}.$$ 4. **Déduire que $(U_n)$ est décroissante :** Puisque $U_n > 1$, on a $1 - U_n < 0$ et $1 + U_n > 0$, donc le numérateur $3(1 - U_n)(1 + U_n) < 0$. Le dénominateur $3U_n + 7 > 0$ car $U_n > 1$. Donc $U_{n+1} - U_n < 0$, ce qui signifie que $(U_n)$ est décroissante. 5. **Déduire que $(U_n)$ est convergente :** La suite $(U_n)$ est décroissante et minorée par 1 (car $U_n > 1$), donc elle est convergente par le théorème de convergence des suites monotones. 6. **Définition de $V_n = \frac{U_n - 1}{U_n + 1}$ pour tout $n$ :** 7. **Montrer que $(V_n)$ est géométrique :** Calculons $V_{n+1}$ : $$V_{n+1} = \frac{U_{n+1} - 1}{U_{n+1} + 1} = \frac{\frac{7U_n + 3}{3U_n + 7} - 1}{\frac{7U_n + 3}{3U_n + 7} + 1} = \frac{\frac{7U_n + 3 - (3U_n + 7)}{3U_n + 7}}{\frac{7U_n + 3 + (3U_n + 7)}{3U_n + 7}} = \frac{7U_n + 3 - 3U_n - 7}{7U_n + 3 + 3U_n + 7} = \frac{4(U_n - 1)}{10(U_n + 1)} = \frac{2}{5} \cdot \frac{U_n - 1}{U_n + 1} = \frac{2}{5} V_n.$$ Donc $V_{n+1} = \frac{2}{5} V_n$, ce qui montre que $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{2}{5}$. 8. **Exprimer $V_n$ en fonction de $n$ :** $$V_n = V_1 \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$$ avec $$V_1 = \frac{U_1 - 1}{U_1 + 1} = \frac{\frac{7}{3} - 1}{\frac{7}{3} + 1} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{10}{3}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}.$$ Donc $$V_n = \frac{2}{5} \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1} = \left(\frac{2}{5}\right)^n.$$ 9. **Déduire $U_n$ en fonction de $n$ :** On a $$V_n = \frac{U_n - 1}{U_n + 1} = \left(\frac{2}{5}\right)^n,$$ donc $$U_n - 1 = \left(\frac{2}{5}\right)^n (U_n + 1) \Rightarrow U_n - 1 = \left(\frac{2}{5}\right)^n U_n + \left(\frac{2}{5}\right)^n,$$ ce qui donne $$U_n - \left(\frac{2}{5}\right)^n U_n = 1 + \left(\frac{2}{5}\right)^n \Rightarrow U_n \left(1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n\right) = 1 + \left(\frac{2}{5}\right)^n,$$ ainsi $$U_n = \frac{1 + \left(\frac{2}{5}\right)^n}{1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n}.$$ 10. **Calculer la limite de $U_n$ :** Comme $\left(\frac{2}{5}\right)^n \to 0$ quand $n \to +\infty$, on a $$\lim_{n \to +\infty} U_n = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1.$$