1. Énoncé du problème : On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \frac{1}{3}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \frac{2u_n}{u_n + 1^2} = \frac{2u_n}{u_n + 1}$. Il faut montrer que pour tout $n$, $0 < u_n \leq 1$. 2. Montrons par récurrence que $0 < u_n \leq 1$ : - Initialisation : $u_0 = \frac{1}{3}$, donc $0 < u_0 \leq 1$ est vrai. - Hérédité : Supposons $0 < u_n \leq 1$. Alors, $$u_{n+1} = \frac{2u_n}{u_n + 1}.$$ Comme $u_n > 0$, le numérateur $2u_n > 0$ et le dénominateur $u_n + 1 > 1 > 0$, donc $u_{n+1} > 0$. De plus, puisque $u_n \leq 1$, on a $$u_{n+1} = \frac{2u_n}{u_n + 1} \leq \frac{2 \times 1}{1 + 1} = 1.$$ Donc $0 < u_{n+1} \leq 1$. Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$. 3. Vérification de la relation donnée : Calculons $u_{n+1} - u_n$ : $$u_{n+1} - u_n = \frac{2u_n}{u_n + 1} - u_n = \frac{2u_n - u_n(u_n + 1)}{u_n + 1} = \frac{2u_n - u_n^2 - u_n}{u_n + 1} = \frac{u_n - u_n^2}{u_n + 1} = \frac{u_n(1 - u_n)}{u_n + 1}.$$ Or, on peut écrire $$- \frac{u_n(u_n - 1)}{u_n + 1} = - \frac{u_n u_n - u_n}{u_n + 1} = - \frac{u_n^2 - u_n}{u_n + 1} = \frac{u_n - u_n^2}{u_n + 1}.$$ Donc, $$u_{n+1} - u_n = - \frac{u_n(u_n - 1)}{u_n + 1}.$$ 4. Étude de la monotonie : Puisque $0 < u_n \leq 1$, on a $u_n - 1 \leq 0$, donc $u_n(u_n - 1) \leq 0$. Le dénominateur $u_n + 1 > 0$, donc $$u_{n+1} - u_n = - \frac{u_n(u_n - 1)}{u_n + 1} \geq 0.$$ Ainsi, la suite $(u_n)$ est croissante. 5. Conclusion sur la convergence : La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 1 (car $u_n \leq 1$). Par le théorème des suites monotones, $(u_n)$ converge. De plus, comme $u_0 = \frac{1}{3}$ et la suite est croissante, on a pour tout $n$, $$u_n \geq \frac{1}{3}.$$