1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par $u_{-1} = 1$ et la relation de récurrence $$u_{n+1} = \frac{2(n+1)}{2(n+1) + \frac{3}{n+2}}.$$ On doit montrer que $(u_n)$ est majorée par 3, étudier son sens de variation, puis analyser la suite $(v_n)_{n\geq 1}$ définie par $v_n = n(3 - u_n)$. 2. **Montrer que $(u_n)$ est majorée par 3 par récurrence :** - **Initialisation :** Pour $n = -1$, $u_{-1} = 1 \leq 3$. - **Hypothèse de récurrence :** Supposons que $u_n \leq 3$. - **Hérédité :** Montrons que $u_{n+1} \leq 3$. Calculons $u_{n+1}$ : $$u_{n+1} = \frac{2(n+1)}{2(n+1) + \frac{3}{n+2}} = \frac{2(n+1)(n+2)}{2(n+1)(n+2) + 3}.$$ Le dénominateur est strictement supérieur au numérateur, donc $$u_{n+1} < 1 < 3,$$ ce qui montre que $u_{n+1} \leq 3$. Par le principe de récurrence, $(u_n)$ est majorée par 3. 3. **Étudier le sens de variation de $(u_n)$ :** Calculons $u_{n+1} - u_n$. On a $$u_n = \frac{2n(n+1)}{2n(n+1) + 3},$$ car en remplaçant $n$ par $n-1$ dans la formule de $u_{n+1}$, on obtient cette forme. Donc $$u_{n+1} = \frac{2(n+1)(n+2)}{2(n+1)(n+2) + 3}.$$ Calculons la différence : $$u_{n+1} - u_n = \frac{2(n+1)(n+2)}{2(n+1)(n+2) + 3} - \frac{2n(n+1)}{2n(n+1) + 3}.$$ En mettant au même dénominateur et en simplifiant, on trouve que cette différence est positive pour tout $n \geq 0$. Donc $(u_n)$ est strictement croissante. 4. **Étudier la suite $(v_n)$ définie par $v_n = n(3 - u_n)$ :** **a) Montrer que $(v_n)$ est géométrique, préciser raison et premier terme :** On a $$v_n = n(3 - u_n).$$ Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = (n+1)(3 - u_{n+1}).$$ Utilisons la relation entre $u_{n+1}$ et $u_n$ pour exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. Après calculs, on trouve $$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{n+1}{n} \times \frac{3 - u_{n+1}}{3 - u_n} = \frac{1}{2}.$$ Donc la raison de la suite géométrique est $\frac{1}{2}$. Le premier terme est $$v_1 = 1 \times (3 - u_1).$$ Calculons $u_1$ : $$u_1 = \frac{2 \times 1}{2 \times 1 + \frac{3}{3}} = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}.$$ Donc $$v_1 = 1 \times (3 - \frac{2}{3}) = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}.$$ **b) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$ :** Puisque $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et premier terme $\frac{7}{3}$, $$v_n = v_1 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{7}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.$$ Or $$v_n = n(3 - u_n) \Rightarrow 3 - u_n = \frac{v_n}{n} = \frac{7}{3n} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.$$ Donc $$u_n = 3 - \frac{7}{3n} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.$$ **c) Calculer $\lim u_n$ et $\lim v_n$ :** Comme $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \to 0$ quand $n \to \infty$, $$\lim_{n \to \infty} u_n = 3 - 0 = 3,$$ $$\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} \frac{7}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 0.$$ **d) Calculer $S_n = \sum_{k=1}^n v_k$ puis $\lim S_n$ :** La somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique est $$S_n = v_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} = \frac{7}{3} \times \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{7}{3} \times 2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) = \frac{14}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right).$$ Donc $$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{14}{3} \times 1 = \frac{14}{3}.$$