1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour la suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = \sqrt{\frac{2}{3} u_n^2 + 2}$ avec $u_0 = 3$, on a $u_n > \sqrt{6}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, puis montrer que $(u_n)$ est strictement décroissante et convergente. 2. **Montrer que $u_n > \sqrt{6}$ pour tout $n$ :** - Initialisation : $u_0 = 3 > \sqrt{6}$ car $3^2=9 > 6$. - Hypothèse de récurrence : Supposons $u_n > \sqrt{6}$. - Montrons que $u_{n+1} > \sqrt{6}$. 3. Calculons : $$ u_{n+1} = \sqrt{\frac{2}{3} u_n^2 + 2} > \sqrt{\frac{2}{3} \times 6 + 2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}$$ car $u_n^2 > 6$ par hypothèse, donc $\frac{2}{3} u_n^2 + 2 > 6$. 4. **Montrer que $(u_n)$ est strictement décroissante :** - Montrons que $u_{n+1} < u_n$ pour tout $n$. - On veut $\sqrt{\frac{2}{3} u_n^2 + 2} < u_n$. - Élevons au carré (fonction croissante sur $\mathbb{R}^+$) : $$\frac{2}{3} u_n^2 + 2 < u_n^2 \iff 2 < u_n^2 - \frac{2}{3} u_n^2 = \frac{1}{3} u_n^2 \iff u_n^2 > 6$$ - Ceci est vrai d'après la première partie, donc $u_{n+1} < u_n$. 5. **Convergence de $(u_n)$ :** - $(u_n)$ est décroissante et minorée par $\sqrt{6}$. - Donc $(u_n)$ est convergente. 6. **Conclusion :** - On a montré que $u_n > \sqrt{6}$ pour tout $n$. - $(u_n)$ est strictement décroissante. - $(u_n)$ est convergente.