1. **Énoncé du problème :** Étudier la suite $(U_n)$ définie par $U_0 \in [0,1]$ et $U_{n+1} = f(U_n)$ avec $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{x^3}{4}$. 2. **Tableau de variation de $f$ sur $[0,1]$ :** Calculons la dérivée : $$f'(x) = \frac{1}{2} + \frac{3x^2}{4} = \frac{2 + 3x^2}{4} > 0 \text{ pour tout } x \in [0,1].$$ Donc $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$. 3. **Stabilité de l'intervalle $[0,1]$ par $f$ :** Pour $x \in [0,1]$, $$f(x) = \frac{x}{2} + \frac{x^3}{4} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \leq 1,$$ et $$f(x) \geq 0,$$ car $x \geq 0$. Donc $f([0,1]) \subseteq [0,1]$. 4. **Définition de la suite $U_n$ :** Puisque $U_0 \in [0,1]$ et $f$ est stable sur $[0,1]$, la suite est bien définie par récurrence. 5. **Étude du signe de $g(x) = f(x) - x$ sur $[0,1]$ :** $$g(x) = \frac{x}{2} + \frac{x^3}{4} - x = -\frac{x}{2} + \frac{x^3}{4} = x\left(-\frac{1}{2} + \frac{x^2}{4}\right).$$ Pour $x \in [0,1]$, $-\frac{1}{2} + \frac{x^2}{4} \leq -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} < 0$. Donc $g(x) \leq 0$ avec égalité en $x=0$. 6. **Existence et unicité du point fixe de $f$ sur $[0,1]$ :** Un point fixe $x$ vérifie $f(x) = x$, donc $g(x) = 0$. On a vu que $g(0) = 0$ et $g(x) < 0$ pour $x > 0$. Donc $x=0$ est l'unique point fixe sur $[0,1]$. 7. **Montrons par récurrence que $U_n \leq 1$ :** - Initialisation : $U_0 \in [0,1]$ donc $U_0 \leq 1$. - Hérédité : si $U_n \leq 1$, alors $U_{n+1} = f(U_n) \leq 1$ car $f([0,1]) \subseteq [0,1]$. Donc $U_n \leq 1$ pour tout $n$. 8. **Étude de la monotonie de $(U_n)$ :** On a $U_{n+1} - U_n = f(U_n) - U_n = g(U_n) \leq 0$ avec égalité seulement en $U_n=0$. Donc $(U_n)$ est décroissante ou stationnaire. 9. **Limite de $(U_n)$ :** La suite $(U_n)$ est décroissante et minorée par 0, donc elle converge vers une limite $l \in [0,1]$. Par passage à la limite dans la relation de récurrence, $$l = f(l)$$ Or l'unique point fixe est $0$, donc $$\lim_{n \to +\infty} U_n = 0.$$