1. **Énoncé du problème** : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 \in \mathbb{R} \setminus \{-5\}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $$u_{n+1} = f(u_n) = \frac{4u_n + 2}{u_n + 5}.$$ **a)** Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet deux solutions $a$ et $b$ avec $a < b$. Étudier la suite pour $u_0 = a$ puis $u_0 = b$. 2. **Résolution de $f(x) = x$** : $$\frac{4x + 2}{x + 5} = x \implies 4x + 2 = x(x + 5) \implies 4x + 2 = x^2 + 5x.$$ 3. **Réarrangement** : $$x^2 + 5x - 4x - 2 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0.$$ 4. **Résolution de l'équation quadratique** : $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}.$$ Les solutions sont $$a = \frac{-1 - 3}{2} = -2, \quad b = \frac{-1 + 3}{2} = 1.$$ 5. **Étude de la suite pour $u_0 = a$ et $u_0 = b$** : - Si $u_0 = a = -2$, alors $u_1 = f(a) = a$, donc la suite est constante égale à $a$. - Si $u_0 = b = 1$, alors $u_1 = f(b) = b$, donc la suite est constante égale à $b$. 6. **b)** On suppose $u_0 \notin \{a,b\}$ et $u_n$ définie pour tout $n$. On pose $$v_n = \frac{u_n - b}{u_n - a}.$$ 7. **Étude de la suite $(v_n)$** : Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - b}{u_{n+1} - a} = \frac{f(u_n) - b}{f(u_n) - a}.$$ 8. **Expression de $f(x)$** : $$f(x) = \frac{4x + 2}{x + 5}.$$ 9. **Calcul de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$** : On montre que $$v_{n+1} = q v_n$$ avec $$q = \frac{a - 4}{b - 4}.$$ 10. **Calcul de $q$** : $$a = -2, \quad b = 1,$$ $$q = \frac{-2 - 4}{1 - 4} = \frac{-6}{-3} = 2.$$ 11. **Nature de la suite $(v_n)$** : C'est une suite géométrique de raison $q = 2$ : $$v_n = v_0 2^n.$$ 12. **Expression de $u_n$ en fonction de $v_n$** : $$v_n = \frac{u_n - b}{u_n - a} \implies u_n = \frac{b - a v_n}{1 - v_n} = \frac{1 - (-2) v_n}{1 - v_n} = \frac{1 + 2 v_n}{1 - v_n}.$$ 13. **Condition pour $u_k = -5$** : $$u_k = -5 \implies \frac{1 + 2 v_k}{1 - v_k} = -5.$$ 14. **Résolution pour $v_k$** : $$1 + 2 v_k = -5 (1 - v_k) = -5 + 5 v_k,$$ $$1 + 2 v_k = -5 + 5 v_k \implies 1 + 5 = 5 v_k - 2 v_k \implies 6 = 3 v_k \implies v_k = 2.$$ 15. **Valeur initiale $v_0$** : $$v_k = v_0 2^k = 2 \implies v_0 = \frac{2}{2^k} = 2^{1-k}.$$ 16. **Expression de $v_0$ en fonction de $u_0$** : $$v_0 = \frac{u_0 - b}{u_0 - a} = \frac{u_0 - 1}{u_0 + 2} = 2^{1-k}.$$ 17. **Résolution pour $u_0$** : $$u_0 - 1 = 2^{1-k} (u_0 + 2) \implies u_0 - 1 = 2^{1-k} u_0 + 2^{2-k}.$$ 18. **Isoler $u_0$** : $$u_0 - 2^{1-k} u_0 = 2^{2-k} + 1 \implies u_0 (1 - 2^{1-k}) = 2^{2-k} + 1,$$ $$u_0 = \frac{2^{2-k} + 1}{1 - 2^{1-k}}.$$ 19. **c)** Bilan selon $u_0$ : - Si $u_0 = a$ ou $u_0 = b$, la suite est constante. - Sinon, la suite $u_n$ s'exprime via $v_n = v_0 2^n$ et $$u_n = \frac{1 + 2 v_n}{1 - v_n}.$$ - La valeur $u_k = -5$ est atteinte pour $$u_0 = \frac{2^{2-k} + 1}{1 - 2^{1-k}}.$$