1. Énoncé du problème : Trouver la forme générale et analyser la suite définie par $$u_n = \frac{e^{2n}}{5^{n+2}}$$ pour tout entier naturel $n$. 2. Formule utilisée : La suite est donnée explicitement, mais on peut la simplifier en utilisant les propriétés des puissances : $$u_n = \frac{e^{2n}}{5^{n+2}} = \frac{e^{2n}}{5^n \cdot 5^2} = \frac{e^{2n}}{5^n \cdot 25} = \frac{1}{25} \cdot \frac{e^{2n}}{5^n}$$ 3. Simplification : On peut écrire $$\frac{e^{2n}}{5^n} = \left(\frac{e^2}{5}\right)^n$$ Donc, $$u_n = \frac{1}{25} \left(\frac{e^2}{5}\right)^n$$ 4. Interprétation : La suite est une suite géométrique de raison $$r = \frac{e^2}{5}$$ et de premier terme $$u_0 = \frac{1}{25} \left(\frac{e^2}{5}\right)^0 = \frac{1}{25}$$. 5. Conclusion : La suite $$u_n$$ est géométrique avec $$u_n = \frac{1}{25} \left(\frac{e^2}{5}\right)^n$$. Cela signifie que chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par $$\frac{e^2}{5}$$. 6. Remarque : Si $$\frac{e^2}{5} > 1$$, la suite diverge vers l'infini. Si $$\frac{e^2}{5} < 1$$, la suite tend vers 0. Calculons approximativement $$\frac{e^2}{5}$$ : $$e^2 \approx 7.389, \quad \frac{7.389}{5} = 1.4778 > 1$$ Donc la suite diverge vers l'infini. Réponse finale : $$\boxed{u_n = \frac{1}{25} \left(\frac{e^2}{5}\right)^n}$$ avec une croissance exponentielle car la raison est supérieure à 1.