1. Énonçons le problème : on cherche à analyser la suite définie par $$b_n = \frac{e^n + e^{2n}}{(1 + 3e^n)^2}$$. 2. Simplifions l'expression en factorisant le numérateur : $$e^n + e^{2n} = e^n(1 + e^n)$$. 3. La suite devient donc $$b_n = \frac{e^n(1 + e^n)}{(1 + 3e^n)^2}$$. 4. Pour étudier le comportement de la suite, observons la limite quand $n \to +\infty$. 5. Comme $e^n$ croît très rapidement, on peut approximer pour $n$ grand : $$b_n \approx \frac{e^n \cdot e^n}{(3e^n)^2} = \frac{e^{2n}}{9e^{2n}} = \frac{1}{9}$$. 6. Ainsi, la suite $b_n$ tend vers $\frac{1}{9}$ quand $n$ tend vers l'infini. 7. Pour $n$ petit ou négatif, on peut calculer quelques valeurs pour mieux comprendre le comportement, mais la limite principale est celle-ci. Réponse finale : $$\lim_{n \to +\infty} b_n = \frac{1}{9}$$.