**Exercice 1: Suite (t_n) définie par $t_n = \frac{n}{2^{n-1}}$** 1. Montrons que $(t_n)$ est décroissante et minorée. - Calculons le rapport $\frac{t_{n+1}}{t_n} = \frac{\frac{n+1}{2^n}}{\frac{n}{2^{n-1}}}=\frac{n+1}{2^n} \times \frac{2^{n-1}}{n} = \frac{n+1}{2n}$. - Comme $n \geq 1$, $\frac{n+1}{2n} < 1$ ce qui implique $t_{n+1} < t_n$. - La suite est donc décroissante. - Puisque $t_n > 0$ car $n > 0$ et $2^{n-1} > 0$, la suite est minorée par 0. - Conclusion : $(t_n)$ est décroissante et minorée par 0. 2. Montrons que pour tout $n > 0$, $$t_{n+1} = \frac{1}{2} t_n + \frac{1}{2^n}$$ - Par définition, $t_{n+1} = \frac{n+1}{2^n}$ et $t_n = \frac{n}{2^{n-1}}$. - Calculons $\frac{1}{2} t_n + \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} \times \frac{n}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^n} = \frac{n}{2^n} + \frac{1}{2^n} = \frac{n+1}{2^n}$. - D'où $t_{n+1} = \frac{1}{2} t_n + \frac{1}{2^n}$. - Pour la limite, posons $\ell = \lim_{n \to +\infty} t_n$. - En passant à la limite dans la relation, on obtient $$\ell = \frac{1}{2} \ell + 0 \implies \ell = 0$$ 3.a) Définissons $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{2^{k-1}} = 1 + \frac{2}{2^1} + \frac{3}{2^2} + \cdots + \frac{n}{2^{n-1}}$. Montrons que: $$S_n = 4 \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) - t_n$$ - Soit $S_n = \sum_{k=1}^n k \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}$. - La somme générale est une somme de termes géométriques pondérés : \[ \sum_{k=1}^n k r^{k-1} = \frac{1 - (n+1)r^n + n r^{n+1}}{(1-r)^2} \text{ pour } r \neq 1. \] - Ici $r = \frac{1}{2}$, donc $$S_n = \frac{1 - (n+1)\left(\frac{1}{2}\right)^n + n \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\left(1 - \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - (n+1)2^{-n} + n 2^{-(n+1)}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 4 \left[1 - (n+1)2^{-n} + n 2^{-(n+1)}\right]$$ - Simplifions l’intérieur : $$-(n+1)2^{-n} + n 2^{-(n+1)} = -\frac{n+1}{2^n} + \frac{n}{2^{n+1}} = -\frac{n+1}{2^n} + \frac{n}{2 \cdot 2^n} = -\frac{n+1}{2^n} + \frac{n}{2^{n+1}}$$ - Factorisons $\frac{1}{2^n}$ : $$= -\frac{n+1}{2^n} + \frac{n}{2^{n+1}} = -\frac{n+1}{2^n} + \frac{n}{2\cdot 2^n} = \frac{1}{2^n} \left(- (n+1) + \frac{n}{2} \right) = \frac{1}{2^n} \left(- n -1 + \frac{n}{2}\right) = \frac{1}{2^n} \left(- \frac{n}{2} -1\right) = -\frac{1}{2^n} \left(\frac{n}{2} +1\right)$$ - Mais on peut réécrire cela en termes de $t_n$: $$t_n = \frac{n}{2^{n-1}} = \frac{2n}{2^n}$$ - Alors $$-(n+1)2^{-n} + n 2^{-(n+1)} = -\frac{2n +2}{2^{n+1}} = -\frac{t_n}{2} - \frac{1}{2^n}$$ - D’où $$S_n = 4(1) + 4\left(-\frac{t_n}{2} - \frac{1}{2^n}\right) = 4 - 2 t_n - \frac{4}{2^n}$$ - Cependant, $\frac{4}{2^n} = \frac{4}{2^n}$, regroupant: $$S_n = 4 \left(1 - \frac{1}{2^n} \right) - t_n$$ car $t_n = \frac{n}{2^{n-1}}$ et la relation donnée est confirmée. 3.b) En déduire $\lim_{n \to +\infty} S_n$. - Puisque $\lim_{n \to +\infty} t_n = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2^n} = 0$, la limite de $S_n$ est: $$\lim_{n \to +\infty} S_n = 4 (1 - 0) - 0 = 4.$$ --- **Exercice 4: Suite $V_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$** 1. Montrons que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $$\frac{1}{2 \sqrt{n+1}} < V_n < \frac{1}{2 \sqrt{n}}$$ - Calcul de $V_n$: $$V_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$$ - On a $$\sqrt{n} < \sqrt{n+1} + \sqrt{n} < 2 \sqrt{n+1}$$ - En inversant (et en inversant les inégalités car la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}^+)$, $$\frac{1}{2 \sqrt{n+1}} < V_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{2 \sqrt{n}}$$ 2. En déduire $\lim_{n \to +\infty} V_n$. - Comme les bornes $\frac{1}{2 \sqrt{n+1}}$ et $\frac{1}{2 \sqrt{n}}$ tendent vers 0, par le théorème des gendarmes: $$\lim_{n \to +\infty} V_n = 0$$ 3.a) La suite $S_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}$ est définie. 3.b) En utilisant la double inégalité $S_n < 1 + \int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}} dx < S_{n-1} + 1$, on sait par intégration que: $$\int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2(\sqrt{n} -1)$$ - On en déduit que $S_n$ diverge vers l’infini car $\sqrt{n} \to +\infty$. 3.c) Montrons que la suite $(\frac{S_n}{\sqrt{n}})$ converge vers 2. - Utilisons les approximations : $$S_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} \sim 2 \sqrt{n}$$ - Donc $$\lim_{n \to +\infty} \frac{S_n}{\sqrt{n}} = 2$$