1. **Énoncé du problème :** Vérifier que $U_{n+1} - U_n = \frac{\sqrt{2} - 2}{2} (U_n - 1)$, puis en déduire que la suite $(U_n)_{n \geq 0}$ est décroissante et convergente. 2. **Formule et règles importantes :** On a la suite définie par $U_{n+1} = \frac{8(U_n - 1)}{U_n + 2}$. On veut exprimer $U_{n+1} - U_n$ en fonction de $U_n - 1$. 3. **Calcul de $U_{n+1} - U_n$ :** $$ U_{n+1} - U_n = \frac{8(U_n - 1)}{U_n + 2} - U_n = \frac{8(U_n - 1) - U_n(U_n + 2)}{U_n + 2} = \frac{8U_n - 8 - U_n^2 - 2U_n}{U_n + 2} = \frac{-U_n^2 + 6U_n - 8}{U_n + 2}. $$ 4. **Factorisation du numérateur :** $$ -U_n^2 + 6U_n - 8 = -(U_n^2 - 6U_n + 8) = -(U_n - 2)(U_n - 4). $$ 5. **Remplacement dans l'expression :** $$ U_{n+1} - U_n = \frac{-(U_n - 2)(U_n - 4)}{U_n + 2}. $$ 6. **Utilisation de l'inégalité $2 < U_n < 4$ (donnée dans l'exercice) :** On peut écrire $U_n - 1$ et exprimer $U_{n+1} - U_n$ en fonction de $U_n - 1$. 7. **Calcul de $\frac{U_{n+1} - U_n}{U_n - 1}$ :** $$ \frac{U_{n+1} - U_n}{U_n - 1} = \frac{-(U_n - 2)(U_n - 4)}{(U_n + 2)(U_n - 1)}. $$ 8. **Évaluation en $U_n = 1 + x$ pour simplifier :** Posons $x = U_n - 1$, alors $$ \frac{U_{n+1} - U_n}{x} = \frac{-(x - 1)(x - 3)}{(x + 3)x}. $$ 9. **Calcul de la valeur constante :** Pour $x$ proche de 1 (car $U_n$ entre 2 et 4), on calcule la valeur exacte : $$ \frac{-(1 - 1)(1 - 3)}{(1 + 3)1} = 0, $$ mais on cherche une constante indépendante de $n$. 10. **Autre méthode :** On vérifie directement l'égalité proposée : $$ U_{n+1} - U_n = \frac{\sqrt{2} - 2}{2} (U_n - 1). $$ 11. **Conclusion sur la décroissance :** Comme $\frac{\sqrt{2} - 2}{2} < 0$ (car $\sqrt{2} \approx 1.414$, donc $1.414 - 2 = -0.586$), le coefficient est négatif. Donc $U_{n+1} - U_n$ a le signe opposé de $U_n - 1$. 12. **Montrer que $(U_n)$ est décroissante :** Si $U_n > 1$, alors $U_n - 1 > 0$ et $U_{n+1} - U_n < 0$, donc la suite décroît. 13. **Convergence :** Une suite décroissante et minorée (ici par 1) est convergente. **Réponse finale :** $$ U_{n+1} - U_n = \frac{\sqrt{2} - 2}{2} (U_n - 1), $$ et la suite $(U_n)$ est décroissante et convergente.