1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(U_n)$ définie par $$U_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}$$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. Il faut démontrer que $(U_n)$ est croissante. 2. **Formule et règles importantes :** Une suite $(U_n)$ est croissante si pour tout $n$, on a $$U_{n+1} \geq U_n.$$ 3. **Démonstration que $(U_n)$ est croissante :** Calculons la différence $$U_{n+1} - U_n = \left(1 + \frac{1}{1!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \frac{1}{(n+1)!}\right) - \left(1 + \frac{1}{1!} + \cdots + \frac{1}{n!}\right) = \frac{1}{(n+1)!}.$$ Comme $\frac{1}{(n+1)!} > 0$ pour tout $n$, on a $$U_{n+1} - U_n > 0,$$ donc $(U_n)$ est strictement croissante. 4. **Définition de la suite $(v_n)$ :** On définit $$v_n = U_n + \frac{1}{n(n!)}$$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. 5. **Démonstration que $(v_n)$ est croissante :** Calculons la différence $$v_{n+1} - v_n = \left(U_{n+1} + \frac{1}{(n+1)((n+1)!)}\right) - \left(U_n + \frac{1}{n(n!)}\right) = (U_{n+1} - U_n) + \left(\frac{1}{(n+1)((n+1)!)} - \frac{1}{n(n!)}\right).$$ On sait que $$U_{n+1} - U_n = \frac{1}{(n+1)!}.$$ Donc, $$v_{n+1} - v_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)((n+1)!)} - \frac{1}{n(n!)} = \frac{1}{(n+1)!} \left(1 + \frac{1}{n+1}\right) - \frac{1}{n(n!)}.$$ Or, $$1 + \frac{1}{n+1} = \frac{n+2}{n+1},$$ donc $$v_{n+1} - v_n = \frac{n+2}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n(n!)}.$$ Sachant que $(n+1)! = (n+1) \times n!$, on a $$\frac{n+2}{(n+1)(n+1)!} = \frac{n+2}{(n+1)^2 n!}.$$ Donc, $$v_{n+1} - v_n = \frac{n+2}{(n+1)^2 n!} - \frac{1}{n n!} = \frac{1}{n!} \left(\frac{n+2}{(n+1)^2} - \frac{1}{n}\right).$$ Calculons l'expression entre parenthèses : $$\frac{n+2}{(n+1)^2} - \frac{1}{n} = \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n (n+1)^2} = \frac{n^2 + 2n - (n^2 + 2n + 1)}{n (n+1)^2} = \frac{-1}{n (n+1)^2} < 0.$$ Donc, $$v_{n+1} - v_n = \frac{1}{n!} \times \left(-\frac{1}{n (n+1)^2}\right) = -\frac{1}{n! n (n+1)^2} < 0,$$ ce qui est négatif. Cela contredit l'hypothèse que $(v_n)$ est croissante. **Re-vérifions le calcul :** Reprenons la différence : $$v_{n+1} - v_n = (U_{n+1} - U_n) + \left(\frac{1}{(n+1)((n+1)!)} - \frac{1}{n(n!)}\right) = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)((n+1)!)} - \frac{1}{n(n!)}.$$ Factorisons $\frac{1}{(n+1)!}$ dans les deux premiers termes : $$\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)((n+1)!)} = \frac{1}{(n+1)!} \left(1 + \frac{1}{n+1}\right) = \frac{1}{(n+1)!} \times \frac{n+2}{n+1}.$$ Sachant que $(n+1)! = (n+1) n!$, on a $$\frac{1}{(n+1)!} \times \frac{n+2}{n+1} = \frac{n+2}{(n+1)^2 n!}.$$ Donc, $$v_{n+1} - v_n = \frac{n+2}{(n+1)^2 n!} - \frac{1}{n n!} = \frac{1}{n!} \left(\frac{n+2}{(n+1)^2} - \frac{1}{n}\right).$$ Calculons le numérateur : $$n(n+2) - (n+1)^2 = n^2 + 2n - (n^2 + 2n + 1) = -1.$$ Donc, $$\frac{n+2}{(n+1)^2} - \frac{1}{n} = \frac{-1}{n (n+1)^2} < 0,$$ et donc $$v_{n+1} - v_n = \frac{1}{n!} \times \left(-\frac{1}{n (n+1)^2}\right) < 0,$$ ce qui signifie que $(v_n)$ est décroissante, pas croissante. **Conclusion :** - La suite $(U_n)$ est strictement croissante. - La suite $(v_n)$ est strictement décroissante. **Réponse finale :** - $(U_n)$ est croissante. - $(v_n)$ n'est pas croissante, elle est décroissante.