1. Énoncé du problème : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \frac{1}{3}$ et $u_{n+1} = \frac{2u_n}{u_n + 1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Montrer que pour tout $n$, $0 < u_n < 1$. 2. Formule et règles importantes : La suite est définie par une relation de récurrence. Pour montrer que $0 < u_n < 1$, on utilisera la récurrence mathématique. 3. Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = \frac{1}{3}$, clairement $0 < \frac{1}{3} < 1$. 4. Hérédité : Supposons que pour un certain $n$, $0 < u_n < 1$. Montrons que $0 < u_{n+1} < 1$. 5. Calcul de $u_{n+1}$ : $$ 0 < u_n < 1 \implies u_n + 1 > 1 > 0 $$ Donc le dénominateur est positif. 6. Puisque $u_n > 0$, le numérateur $2u_n > 0$, donc $u_{n+1} = \frac{2u_n}{u_n + 1} > 0$. 7. Pour la borne supérieure : $$ u_{n+1} = \frac{2u_n}{u_n + 1} < \frac{2 \times 1}{1 + 1} = 1 $$ car $u_n < 1$. 8. Conclusion par récurrence : Pour tout $n$, $0 < u_n < 1$. Réponse finale : $$ \boxed{0 < u_n < 1 \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}} $$