1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, on a $n \ln(a_n) + \ln(b_n) = 0$ avec $a_n = \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ et $b_n = \frac{n^n}{n!}$. 2. **Formule et règles importantes :** - Rappel : $\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)$ et $\ln\left(x^m\right) = m \ln(x)$. - On utilisera la définition de $a_n$ et $b_n$ pour exprimer $\ln(a_n)$ et $\ln(b_n)$. 3. **Calculs intermédiaires :** - Calcul de $\ln(a_n)$ : $$\ln(a_n) = \ln\left(\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\right) = \ln\left((n!)^{\frac{1}{n}}\right) - \ln(n) = \frac{1}{n} \ln(n!) - \ln(n)$$ - Calcul de $\ln(b_n)$ : $$\ln(b_n) = \ln\left(\frac{n^n}{n!}\right) = \ln(n^n) - \ln(n!) = n \ln(n) - \ln(n!)$$ - Somme demandée : $$n \ln(a_n) + \ln(b_n) = n \left(\frac{1}{n} \ln(n!) - \ln(n)\right) + n \ln(n) - \ln(n!) = \ln(n!) - n \ln(n) + n \ln(n) - \ln(n!) = 0$$ 4. **Conclusion :** On a bien montré que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $$n \ln(a_n) + \ln(b_n) = 0$$ **Réponse finale :** $$\boxed{n \ln(a_n) + \ln(b_n) = 0}$$