Énoncé du problème. La fonction est définie par $$f(x)=\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1+x}}{x}\quad (x\ne 0)$$ et $$f(0)=\tfrac{1}{2}.$$ 1. Détermination du domaine. Pour que les radicandes soient définis il faut $1+2x\ge 0$ et $1+x\ge 0$. La condition la plus contraignante est $x\ge -1/2$. La formule donnée pour $x\ne 0$ exclut temporairement 0, mais la valeur $f(0)=1/2$ est fournie explicitement et appartient donc au domaine. On en conclut que le domaine est $[-1/2,\infty)$. 2. Continuité en 0. Pour étudier la limite en 0 on simplifie l'expression pour $x\ne 0$ en multipliant par la conjugée. $$f(x)=\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1+x}}{x}=\frac{(1+2x)-(1+x)}{x\bigl(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+x}\bigr)}=\frac{1}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+x}}.$$ En passant à la limite $x\to 0$ on obtient $$\lim_{x\to 0}f(x)=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{1}{2}.$$ Comme $\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)=1/2$, la discontinuité apparente en 0 est amovible et $f$ est continue en 0. 3. Dérivabilité en 0. On utilise l'expression simplifiée $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+x}}$ et on dérive pour $x\ne 0$ en appliquant la règle de la chaîne et la dérivée de la racine. Pour $x\ne 0$ on obtient $$f'(x)=-\frac{\dfrac{d}{dx}\bigl(\sqrt{1+2x}\bigr)+\dfrac{d}{dx}\bigl(\sqrt{1+x}\bigr)}{\bigl(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+x}\bigr)^2}=-\frac{\dfrac{1}{\sqrt{1+2x}}+\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}}{\bigl(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+x}\bigr)^2}.$$ En évaluant en $x=0$ on a $\sqrt{1+2\cdot 0}=1$ et $\sqrt{1+0}=1$, donc $$f'(0)=-\frac{1+\tfrac{1}{2}}{(1+1)^2}=-\frac{3/2}{4}=-\frac{3}{8}.$$ Ainsi la limite du taux d'accroissement existe et vaut $-3/8$, donc $f$ est dérivable en 0 et $f'(0)=-3/8$. Réponses finales. Domaine : $[-1/2,\infty)$. $f$ est continue en 0 et dérivable en 0 avec $f'(0)=-3/8$.