1. Énoncé. Soit $f$ définie par $f(x)=x\sqrt[3]{4 - x}$. 2. Domaine et branche à l'infini vers $-\infty$. Le domaine $D_f$ est $\mathbb{R}$ car $\sqrt[3]{4 - x}$ est défini pour tout $x$ réel. Pour $x\to -\infty$ poser $x=-t$ avec $t\to +\infty$ et $\sqrt[3]{4 - x}=\sqrt[3]{4 + t}\sim t^{1/3}$. On obtient $f(x)= -t\,t^{1/3}=-t^{4/3}\to -\infty$. Donc la branche de $\mathcal{C}_f$ quand $x\to -\infty$ tend vers $-\infty$ et il n'existe pas d'asymptote affine car $f(x)/x\sim t^{1/3}\to +\infty$. 3. Dérivabilité à gauche en $4$ et interprétation géométrique. Calculer la dérivée pour $x\neq 4$ en posant $t=\sqrt[3]{4 - x}$. On a $t'= -\tfrac{1}{3}(4 - x)^{-2/3} = -\tfrac{1}{3}t^{-2}$. Alors $f'(x)=t + x t'=t - \tfrac{x}{3}t^{-2}=\dfrac{3t^{3}-x}{3t^{2}}$. Comme $t^{3}=4 - x$ on obtient $$f'(x)=\dfrac{4(3 - x)}{3t^{2}}=\dfrac{4(3 - x)}{3\left(\sqrt[3]{4 - x}\right)^{2}}\,.$$ Pour $x\to 4^{-}$ le dénominateur $\left(\sqrt[3]{4 - x}\right)^{2}\to 0^{+}$ et le numérateur vaut $4(3 - 4)=-4$. Donc $f'(x)\to -\infty$ quand $x\to 4^{-}$. Ainsi $f$ n'a pas de dérivée finie à gauche en $4$ et la courbe admet une tangente verticale à $x=4$ vue du côté gauche. 4. Vérification de l'identité de la question 3a et position relative par rapport à la droite $y=x$. Poser $t=\sqrt[3]{4 - x}$. On a $f(x)-x=x(t - 1)$. Noter que $t^{3}-1=4 - x - 1=3 - x$ et utiliser la factorisation $t^{3}-1=(t - 1)(t^{2}+t+1)$. D'où $$t - 1=\dfrac{3 - x}{t^{2}+t+1}$$ et donc $$f(x)-x=\dfrac{x(3 - x)}{t^{2}+t+1}=\dfrac{x(3 - x)}{\left(\sqrt[3]{4 - x}\right)^{2}+\sqrt[3]{4 - x}+1}\,.$$ Comme $\left(\sqrt[3]{4 - x}\right)^{2}+\sqrt[3]{4 - x}+1>0$ pour tout $x$ réel, le signe de $f(x)-x$ est celui de $x(3 - x)$. Donc $f(x)-x>0$ pour $x\in(0,3)$, $f(x)-x=0$ pour $x\in\{0,3\}$ et $f(x)-x<0$ pour $x<0$ ou $x>3$. Ainsi $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la droite $y=x$ sur $]0,3[$ et en dessous sur les autres intervalles. 5. Dérivée, tableau de variations et tangente en $x=-4$. La formule précédente donne pour tout $x\neq 4$ $$f'(x)=\dfrac{4(3 - x)}{3\left(\sqrt[3]{4 - x}\right)^{2}}\,.$$ Le dénominateur est strictement positif pour $x\neq 4$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $3 - x$. Ainsi $f'(x)>0$ pour $x<3$, $f'(3)=0$ et $f'(x)<0$ pour $x>3$ (avec $f'$ non finie en $x=4$ comme précisé). Donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty,3[$ puis décroissante sur $]3,4[$ et sur $]4,+\infty[$. Calculer la tangente en $x=-4$ : $t=\sqrt[3]{4 - (-4)}=\sqrt[3]{8}=2$. On a $f(-4)=-4\times 2=-8$ et $$f'(-4)=\dfrac{4(3 - (-4))}{3\times 2^{2}}=\dfrac{4\times 7}{3\times 4}=\dfrac{7}{3}\,.$$ L'équation de la tangente est donc $$y+8=\dfrac{7}{3}(x+4)$$ soit $$y=\dfrac{7}{3}x+\dfrac{4}{3}\,.$$ 6. Concavité et seconde dérivée. En dérivant $f'(x)$ on obtient pour $x\neq 4$ la seconde dérivée suivante qui, sur $]-\infty,4[$ où $4 - x>0$, s'écrit $$f''(x)=\dfrac{4(x - 6)}{9\left(\sqrt[3]{4 - x}\right)^{5}}\,.$$ Sur $]-\infty,4[$ le dénominateur est positif et $x - 6<0$, donc $f''(x)<0$ sur $]-\infty,4[$. Par conséquent $\mathcal{C}_f$ est concave sur $]-\infty,4[$. 7. Restriction $g$ à $]-\infty,3[$, réciproque et variations. Définir $g$ comme la restriction de $f$ à $]-\infty,3[$. Comme $f'$ est strictement positive sur $]-\infty,3[$, $g$ est strictement croissante et continue sur cet intervalle, donc bijective sur son image $J=f(]-\infty,3[)$. On a $\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ et $f(3)=3$, donc $J=]-\infty,3[$. Ainsi $g^{-1}$ est définie sur $J=]-\infty,3[$. Pour calculer $(g^{-1})'(0)$ déterminer $x_{0}$ tel que $g(x_{0})=0$. L'équation $x\sqrt[3]{4 - x}=0$ donne $x_{0}=0$ dans $]-\infty,3[$. On a $(g^{-1})'(0)=\dfrac{1}{g'(0)}$ et $g'(0)=f'(0)=\dfrac{4(3 - 0)}{3\left(\sqrt[3]{4}\right)^{2}}=\dfrac{4}{\left(\sqrt[3]{4}\right)^{2}}$. Donc $$(g^{-1})'(0)=\dfrac{1}{g'(0)}=\dfrac{\left(\sqrt[3]{4}\right)^{2}}{4}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}\,.$$ Le tableau de variations de $g^{-1}$ est la symétrie de celui de $g$ par rapport à la droite $y=x$ : $g^{-1}$ est strictement croissante sur $]-\infty,3[$ et prend les valeurs de $-\infty$ à $3$. 8. Construction des courbes demandées. Tracer dans le même repère la droite $y=x$, la courbe $\mathcal{C}_f$ et la courbe de $g^{-1}$ qui est la symétrique de la portion croissante de $\mathcal{C}_f$ par rapport à la droite $y=x$. Réponses finales succinctes. $D_f=\mathbb{R}$. $\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ et pas d'asymptote affine. $f$ n'est pas dérivable à gauche en $4$ (pente verticale). Identité : $f(x)-x=\dfrac{x(3 - x)}{\left(\sqrt[3]{4 - x}\right)^{2}+\sqrt[3]{4 - x}+1}$. Position relative à $y=x$ déterminée par le signe de $x(3 - x)$. $f'(x)=\dfrac{4(3 - x)}{3\left(\sqrt[3]{4 - x}\right)^{2}}$ et extremum en $x=3$ avec $f(3)=3$. Tangente en $x=-4$ : $y=\dfrac{7}{3}x+\dfrac{4}{3}$. $f''(x)=\dfrac{4(x - 6)}{9\left(\sqrt[3]{4 - x}\right)^{5}}$ sur $]-\infty,4[$ et $\mathcal{C}_f$ est concave sur $]-\infty,4[$. Pour $g=f_{|]-\infty,3[}$ on a $J=]-\infty,3[$, $(g^{-1})'(0)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}$ et $g^{-1}$ est strictement croissante de $-\infty$ à $3$.