1. **Exercice 3 : Prolongement par continuité de $f(x) = \frac{1 - \cos x}{x}$ en 0** - Le problème est de montrer que $f$ peut être prolongée par continuité en $x=0$ et de trouver cette valeur. 2. **Calcul de la limite en 0** - On cherche $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$. - Utilisons le développement limité de $\cos x$ en 0 : $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$$ - Donc: $$1 - \cos x = 1 - \left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) = \frac{x^2}{2} + o(x^2)$$ - Ainsi: $$\frac{1 - \cos x}{x} = \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x} = \frac{x^2}{2x} + \frac{o(x^2)}{x} = \frac{x}{2} + o(x)$$ - Quand $x \to 0$, $\frac{x}{2} + o(x) \to 0$. 3. **Conclusion pour Exercice 3** - La limite existe et vaut 0. - On peut donc définir $f(0) = 0$ pour prolonger $f$ par continuité en 0. --- 4. **Exercice 4 : Dérivabilité, dérivée et signe de la dérivée** Pour chaque fonction, on détermine l'ensemble de dérivabilité, calcule $f'$ et étudie le signe de $f'$. **1) $f(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3$** - Polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$. - $f'(x) = 3x^2 + 2x - 5$. - Étudions le signe de $f'(x)$ : $$\Delta = 2^2 - 4 \times 3 \times (-5) = 4 + 60 = 64$$ Racines: $$x = \frac{-2 \pm 8}{6}$$ $$x_1 = 1, x_2 = -\frac{5}{3}$$ - Parabolique positive devant le terme $3x^2$, donc $f'(x) > 0$ pour $x < -\frac{5}{3}$ et $x > 1$, négative entre ces racines. **2) $f(x) = \frac{2x^3 - x - 1}{x^2 + x + 1}$** - Dénominateur $x^2 + x + 1$ n'a pas de racines réelles (discriminant $1 - 4 = -3 < 0$), donc dérivable sur $\mathbb{R}$. - Utilisons la règle du quotient: $$f'(x) = \frac{(6x^2 - 1)(x^2 + x + 1) - (2x^3 - x - 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$$ - Le signe de $f'$ dépend du numérateur, à étudier selon besoin. **3) $f(x) = \left(\frac{-2x + 1}{x - 1}\right)^3$** - Domaine: $x \neq 1$. - Posons $g(x) = \frac{-2x + 1}{x - 1}$, alors $f(x) = (g(x))^3$. - $g'(x) = \frac{-2(x - 1) - (-2x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{-2x + 2 + 2x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{1}{(x - 1)^2}$. - Donc: $$f'(x) = 3(g(x))^2 g'(x) = 3 \left(\frac{-2x + 1}{x - 1}\right)^2 \frac{1}{(x - 1)^2} = \frac{3(-2x + 1)^2}{(x - 1)^4} > 0$$ - Dérivée strictement positive sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. **4) $f(x) = x - 1 + \frac{4}{x + 1}$** - Domaine: $x \neq -1$. - Dérivée: $$f'(x) = 1 - \frac{4}{(x + 1)^2}$$ - Étudions le signe: $$f'(x) = \frac{(x + 1)^2 - 4}{(x + 1)^2} = \frac{(x + 1 - 2)(x + 1 + 2)}{(x + 1)^2} = \frac{(x - 1)(x + 3)}{(x + 1)^2}$$ - Dénominateur positif sauf en $x = -1$ exclu. - Signe de $f'$ dépend de $(x - 1)(x + 3)$. **5) $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2x + 1}}$** - Notons que $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$. - Domaine: $x \neq -1$ (dénominateur non nul). - $f(x) = \frac{x}{|x + 1|}$. - Dérivabilité à étudier sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. - Pour $x > -1$, $|x + 1| = x + 1$, donc $f(x) = \frac{x}{x + 1}$. - Pour $x < -1$, $|x + 1| = -(x + 1)$, donc $f(x) = \frac{x}{-(x + 1)} = -\frac{x}{x + 1}$. - Dérivées: - $x > -1$: $$f'(x) = \frac{(x + 1) \times 1 - x \times 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2} > 0$$ - $x < -1$: $$f'(x) = - \frac{(x + 1) \times 1 - x \times 1}{(x + 1)^2} = - \frac{1}{(x + 1)^2} < 0$$ **6) $f(x) = (1 - \cos 2x) \sin^2 x$** - Fonction composée de fonctions dérivables partout. - Dérivable sur $\mathbb{R}$. - Dérivée par produit et chaîne: $$f'(x) = 2 \sin 2x \sin^2 x + (1 - \cos 2x) \times 2 \sin x \cos x$$ **7) $f(x) = \sqrt{|x^2 - 1|}$** - Domaine: $x^2 - 1 \geq 0 \Rightarrow x \leq -1$ ou $x \geq 1$. - Dérivable sur $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$. - Dérivée: $$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{|x^2 - 1|}} \times \frac{d}{dx} |x^2 - 1|$$ - Pour $x > 1$, $|x^2 - 1| = x^2 - 1$, donc $$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x^2 - 1}} \times 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} > 0$$ - Pour $x < -1$, $|x^2 - 1| = x^2 - 1$, même dérivée, mais $x < 0$ donc $f'(x) < 0$. --- 5. **Exercice 5 : Étude de $f(x) = x^3 - 3x + 8$** 1. **Images des intervalles** - Calculons $f$ aux bornes: - $f(-3) = (-3)^3 - 3(-3) + 8 = -27 + 9 + 8 = -10$ - $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 8 = -8 + 6 + 8 = 6$ - $f(-1) = -1 - (-3) + 8 = -1 + 3 + 8 = 10$ - $f(0) = 0 - 0 + 8 = 8$ - $f(1) = 1 - 3 + 8 = 6$ - Donc: - $f([-3, -2]) = [-10, 6]$ - $f(]-1, 0]) = ]10, 8]$ (ordre décroissant car $f(-1) = 10 > f(0) = 8$) - $f([1, +\infty[)$: pour $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$, et $f(1) = 6$, donc image $[6, +\infty[$. 2. **Existence et unicité de la solution $\alpha$ de $f(x) = 0$** - $f$ est un polynôme de degré 3, continu et dérivable partout. - Étudions le signe de $f$ aux points: - $f(-3) = -10 < 0$ - $f(-2) = 6 > 0$ - Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une racine dans $[-3, -2]$. - Étudions $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$. - Racines de $f'$: $x = \pm 1$. - $f'$ change de signe en $-1$ et $1$, donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty, -1]$, décroissante sur $[-1, 1]$, croissante sur $[1, +\infty[$. - $f(-1) = 10 > 0$, $f(1) = 6 > 0$, donc $f$ ne s'annule pas ailleurs. - Donc $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[-3, -2]$. 3. **Encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près** - Calculons $f(-2.1)$: $$f(-2.1) = (-2.1)^3 - 3(-2.1) + 8 = -9.261 + 6.3 + 8 = 5.039 > 0$$ - Calculons $f(-2.2)$: $$f(-2.2) = (-2.2)^3 - 3(-2.2) + 8 = -10.648 + 6.6 + 8 = 3.952 > 0$$ - Calculons $f(-2.5)$: $$f(-2.5) = -15.625 + 7.5 + 8 = -0.125 < 0$$ - Donc $\alpha \in [-2.5, -2.2]$. - Plus précisément, $\alpha \approx -2.3$ à $10^{-1}$ près. 4. **Signe de $f(x)$** - $f(x) < 0$ pour $x < \alpha$. - $f(x) > 0$ pour $x > \alpha$. ---