1. **Étudier les variations de P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 1**. Calculons la dérivée : $$P'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x-1)$$ Les racines de $P'(x)$ sont $0$ et $1$. - Pour $x < 0$, $P'(x) > 0$ (car $6x(x-1)$ est positif) - Pour $0 < x < 1$, $P'(x) < 0$ - Pour $x > 1$, $P'(x) > 0$ Donc $P$ est croissante sur $]-\infty,0]$, décroissante sur $[0,1]$, puis croissante sur $[1,+\infty[$. 2. **Montrer que l'équation $P(x) = 0$ admet une unique racine réelle $\alpha$ dans $[1.6;1.7]$**. Calculons $P(1.6)$ et $P(1.7)$ : $$P(1.6) = 2(1.6)^3 - 3(1.6)^2 - 1 = 2(4.096) - 3(2.56) - 1 = 8.192 - 7.68 - 1 = -0.488 < 0$$ $$P(1.7) = 2(4.913) - 3(2.89) - 1 = 9.826 - 8.67 - 1 = 0.156 > 0$$ Par le théorème des valeurs intermédiaires, $P(x)=0$ admet une racine unique $\alpha$ dans $[1.6;1.7]$ car $P$ est strictement croissante sur $[1,+\infty[$. 3. **Étudier les variations de $f(x) = \frac{1-x}{1+x^3}$ sur $D = ]-1,+\infty[$**. Dérivons $f$ : $$f'(x) = \frac{-(1+x^3) - (1-x)3x^2}{(1+x^3)^2} = \frac{-1 - x^3 - 3x^2 + 3x^3}{(1+x^3)^2} = \frac{-1 + 2x^3 - 3x^2}{(1+x^3)^2}$$ Étudions le signe du numérateur $N(x) = -1 + 2x^3 - 3x^2$ sur $D$. 4. **Montrer que $f(\alpha) = \frac{2(1-\alpha)}{3(\alpha^2+1)}$ et encadrer $f(\alpha)$ avec une amplitude de 0,1**. Calculons $f(\alpha)$ : $$f(\alpha) = \frac{1-\alpha}{1+\alpha^3}$$ Utilisons l'équation $P(\alpha) = 0$ : $$2\alpha^3 - 3\alpha^2 - 1 = 0 \Rightarrow 2\alpha^3 = 3\alpha^2 + 1$$ Donc $$1 + \alpha^3 = 1 + \frac{3\alpha^2 + 1}{2} = \frac{3\alpha^2 + 3}{2} = \frac{3(\alpha^2 + 1)}{2}$$ Ainsi $$f(\alpha) = \frac{1-\alpha}{1+\alpha^3} = \frac{1-\alpha}{\frac{3(\alpha^2 + 1)}{2}} = \frac{2(1-\alpha)}{3(\alpha^2 + 1)}$$ Avec $\alpha \in [1.6;1.7]$, calculons une estimation numérique et encadrement avec amplitude 0,1. 5. **Équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse 0**. Calculons $f(0)$ : $$f(0) = \frac{1-0}{1+0} = 1$$ Calculons $f'(0)$ : $$f'(0) = \frac{-1 + 0 - 0}{(1+0)^2} = -1$$ Équation de la tangente : $$y = f(0) + f'(0)(x-0) = 1 - x$$ 6. **Étudier la position de $C$ par rapport à $T$**. Calculons $f(x) - (1 - x)$ : $$f(x) - (1 - x) = \frac{1-x}{1+x^3} - 1 + x = \frac{1-x - (1+x^3)(1 - x)}{1+x^3}$$ Simplifions le numérateur : $$(1-x) - (1+x^3)(1-x) = (1-x) - (1-x)(1+x^3) = (1-x)(1 - (1+x^3)) = (1-x)(-x^3) = -x^3(1-x)$$ Donc $$f(x) - (1 - x) = \frac{-x^3(1-x)}{1+x^3}$$ Sur $D$, le signe dépend de $x^3(1-x)$ et $1+x^3 > 0$. 7. **Étudier la fonction $g(x) = -\frac{1}{2} + \frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}$**. Dérivée : $$g'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2+1) - x^2}{(x^2+1)^{3/2}} = \frac{1}{2(x^2+1)^{3/2}} > 0$$ Donc $g$ est strictement croissante. Limites : $$\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$$ $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$$ Donc $g(x) \in ]-1;0[$. 8. **Étudier la fonction $f(x) = -\frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{2} \sqrt{x^2+1}$**. Dérivons : $$f'(x) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{-\sqrt{x^2+1} + x}{2\sqrt{x^2+1}}$$ Le signe de $f'(x)$ est celui de $x - \sqrt{x^2+1} < 0$ pour tout $x$, donc $f$ est strictement décroissante. 9. **Asymptote oblique en $-\infty$**. Calculons $$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-\frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{2} \sqrt{x^2+1}}{x}$$ Approximons $\sqrt{x^2+1} \sim -x$ pour $x \to -\infty$ (car $x$ négatif) : $$f(x) \sim -\frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{2}(-x) = 1$$ Donc asymptote oblique de la forme $y = x + b$ n'existe pas, mais on peut vérifier la forme exacte en développant. 10. **Bijection de $f$ et étude de $f^{-1}$**. $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$, donc bijection sur son image $I = ]\min f, \max f[$. L'inverse est donné par $$f^{-1}(x) = \frac{1}{4(x-1)} + 1 - x$$ 11. **Tracer les courbes $C$ et $C^{-1}$**. Les courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.