1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ et tout $k \in \mathbb{Z}$, on a $$\mathrm{E}(x) + \mathrm{E}(y) \leq \mathrm{E}(x+y) \leq \mathrm{E}(x) + \mathrm{E}(y) + 1.$$ 2. **Définition de la fonction partie entière :** Pour tout réel $t$, $\mathrm{E}(t)$ est l'entier tel que $$\mathrm{E}(t) \leq t < \mathrm{E}(t) + 1.$$ 3. **Inégalité inférieure :** On sait que $$\mathrm{E}(x) \leq x < \mathrm{E}(x) + 1$$ $$\mathrm{E}(y) \leq y < \mathrm{E}(y) + 1.$$ En additionnant ces deux inégalités, on obtient $$\mathrm{E}(x) + \mathrm{E}(y) \leq x + y < \mathrm{E}(x) + \mathrm{E}(y) + 2.$$ 4. **Lien avec $\mathrm{E}(x+y)$ :** Par définition de la partie entière, $$\mathrm{E}(x+y) \leq x + y < \mathrm{E}(x+y) + 1.$$ 5. **Comparer $\mathrm{E}(x+y)$ avec $\mathrm{E}(x) + \mathrm{E}(y)$ :** Puisque $\mathrm{E}(x) + \mathrm{E}(y) \leq x + y$, et $x + y < \mathrm{E}(x+y) + 1$, on a $$\mathrm{E}(x) + \mathrm{E}(y) \leq \mathrm{E}(x+y) + 1.$$ De plus, $\mathrm{E}(x+y)$ est un entier, donc $$\mathrm{E}(x+y) \geq \mathrm{E}(x) + \mathrm{E}(y) - 1.$$ Mais comme $\mathrm{E}(x+y)$ est la plus grande valeur entière inférieure ou égale à $x+y$, et $\mathrm{E}(x) + \mathrm{E}(y)$ est un entier inférieur ou égal à $x+y$, on a en fait $$\mathrm{E}(x+y) \geq \mathrm{E}(x) + \mathrm{E}(y).$$ 6. **Conclusion :** On a donc $$\mathrm{E}(x) + \mathrm{E}(y) \leq \mathrm{E}(x+y) \leq \mathrm{E}(x) + \mathrm{E}(y) + 1,$$ ce qui conclut la démonstration.