1. **Énoncé du problème :** Étudier la parité de la fonction $f$ définie par : $$f(0) = 0, \quad f(x) = x^2 \times \arctan\left(\frac{1}{x}\right) \text{ pour } x \neq 0.$$ 2. **Formule et rappel :** Une fonction $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ dans le domaine. 3. **Calcul de $f(-x)$ pour $x \neq 0$ :** $$f(-x) = (-x)^2 \times \arctan\left(\frac{1}{-x}\right) = x^2 \times \arctan\left(-\frac{1}{x}\right).$$ 4. **Propriété de l'arctangente :** $\arctan(-t) = -\arctan(t)$ pour tout $t \in \mathbb{R}$. 5. **Simplification :** $$f(-x) = x^2 \times (-\arctan(\frac{1}{x})) = -x^2 \times \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = -f(x).$$ 6. **Conclusion sur la parité :** On a $f(-x) = -f(x)$, donc $f$ est une fonction impaire. **Réponse finale :** La fonction $f$ est impaire.