1. Énonçons le problème : Trouver la définition analytique du nombre dérivé de la fonction $f$ en $x=1$. 2. La définition du nombre dérivé de $f$ en un point $a$ est donnée par la limite suivante : $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ 3. Ici, on cherche le nombre dérivé en $a=1$, donc on remplace $a$ par 1 : $$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$$ 4. Cette limite, si elle existe, représente la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 1. 5. En résumé, le nombre dérivé de $f$ en 1 est la limite du taux d'accroissement de $f$ lorsque l'intervalle $h$ tend vers 0, ce qui donne la pente instantanée en ce point.