1. Énonçons le problème : Étudier la monotonie de la fonction $$f(x) = x^2 - (1+x^3)^{\frac{2}{3}}$$. 2. Pour étudier la monotonie, on calcule la dérivée $$f'(x)$$ et on analyse son signe. 3. Calculons $$f'(x)$$ : $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(x^2\right) - \frac{d}{dx} \left((1+x^3)^{\frac{2}{3}}\right) = 2x - \frac{2}{3}(1+x^3)^{-\frac{1}{3}} \cdot 3x^2$$ 4. Simplifions la dérivée : $$f'(x) = 2x - 2x^2 (1+x^3)^{-\frac{1}{3}}$$ 5. Factorisons $$f'(x)$$ : $$f'(x) = 2x \left(1 - x (1+x^3)^{-\frac{1}{3}}\right)$$ 6. Étudions le signe de $$f'(x)$$ : - Le facteur $$2x$$ change de signe en $$x=0$$. - Le facteur $$1 - x (1+x^3)^{-\frac{1}{3}}$$ dépend de $$x$$. 7. Posons $$g(x) = x (1+x^3)^{-\frac{1}{3}} = \frac{x}{(1+x^3)^{1/3}}$$. 8. Pour que $$f'(x) = 0$$, il faut que $$2x=0$$ ou $$1 - g(x) = 0$$, c'est-à-dire $$x=0$$ ou $$g(x) = 1$$. 9. Résolvons $$g(x) = 1$$ : $$\frac{x}{(1+x^3)^{1/3}} = 1 \implies x = (1+x^3)^{1/3}$$ 10. Élevons au cube des deux côtés : $$x^3 = 1 + x^3 \implies 0 = 1$$, ce qui est impossible. 11. Donc, $$g(x) = 1$$ n'a pas de solution réelle. 12. Ainsi, les points critiques sont uniquement $$x=0$$. 13. Étudions le signe de $$f'(x)$$ autour de $$0$$ : - Pour $$x>0$$, $$2x > 0$$. - Calculons $$g(x)$$ pour $$x>0$$ : $$g(x) = \frac{x}{(1+x^3)^{1/3}} < \frac{x}{x} = 1$$ car $$1+x^3 > x^3$$. - Donc $$1 - g(x) > 0$$ pour $$x>0$$. - Ainsi, $$f'(x) = 2x (1 - g(x)) > 0$$ pour $$x>0$$. - Pour $$x<0$$, $$2x < 0$$. - Calculons $$g(x)$$ pour $$x<0$$ : Le dénominateur $$ (1+x^3)^{1/3} $$ est réel et négatif si $$1+x^3 < 0$$, sinon positif. - Par exemple, pour $$x=-1$$, $$g(-1) = \frac{-1}{(1-1)^{1/3}} = \frac{-1}{0}$$ non défini. - Pour $$x$$ proche de 0 négatif, $$1+x^3 > 0$$ donc $$g(x)$$ est négatif divisé par positif, donc négatif. - Donc $$g(x) < 0$$ pour $$x$$ proche de 0 négatif. - Ainsi, $$1 - g(x) > 1$$ pour $$x<0$$ proche de 0. - Donc $$f'(x) = 2x (1 - g(x)) < 0$$ pour $$x<0$$ proche de 0. 14. Conclusion : - $$f'(x) < 0$$ pour $$x<0$$, la fonction est décroissante. - $$f'(x) > 0$$ pour $$x>0$$, la fonction est croissante. - En $$x=0$$, la fonction a un minimum local. **Réponse finale :** La fonction $$f(x) = x^2 - (1+x^3)^{2/3}$$ est décroissante sur $$(-\infty, 0)$$ et croissante sur $$(0, +\infty)$$ avec un minimum local en $$x=0$$.